Use o roteiro da Seçăo 4.5 para esboçar a curva.
y=4 x-\operatorname{tg} x, \quad-\pi / 2<x<\pi / 2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva da função
y = 4x - \tan x,\quad -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2},
seguindo o roteiro de análise de curvas (domínio, continuidade, simetria, interceptos, assíntotas, derivadas, monotonia e concavidade).

Passo 2

Domínio e simetria.
A função está definida sempre que \tan x for finito, ou seja em
-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}.
Além disso,
f(-x)=4(-x)-\tan(-x)=-4x+\tan x=-(4x-\tan x)=-f(x),
logo f é ímpar e o gráfico é simétrico em relação à origem.

Passo 3

Intercepto e assíntotas.
Em x=0 temos
y(0)=4\cdot0-\tan0=0,
portanto o gráfico passa pela origem. Como o domínio se aproxima de \pm\frac{\pi}{2}, perto de x\to\frac{\pi}{2}^- temos \tan x\to+\infty e então
y\to4\cdot\frac{\pi}{2}-\infty=-\infty,
indicando assíntota vertical em x=\frac{\pi}{2} com y\to-\infty. Similarmente, para x\to-\frac{\pi}{2}^+, \tan x\to-\infty e
y\to4\cdot\Bigl(-\frac{\pi}{2}\Bigr)-(-\infty)=+\infty,
logo assíntota vertical também em x=-\frac{\pi}{2} com y\to+\infty.

Passo 4

Derivada primeira e monotonia.
f'(x)=4-\operatorname{sec}^2 x.
Para f'(x)=0 basta \operatorname{sec}^2 x=4, ou seja \cos^2 x=\frac14, daí
x=\pm\frac{\pi}{3}.
Analisando o sinal de f':
  • Em \displaystyle\bigl(-\tfrac{\pi}{2},-\tfrac{\pi}{3}\bigr), \operatorname{sec}^2x>4 \,\Rightarrow f'<0 (decrescente).
  • Em \displaystyle\bigl(-\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\bigr), \operatorname{sec}^2x<4 \,\Rightarrow f'>0 (crescente).
  • Em \displaystyle\bigl(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{2}\bigr), volta a ter \operatorname{sec}^2x>4 \,\Rightarrow f'<0.
    Logo há um mínimo local em x=-\tfrac{\pi}{3} e um máximo local em x=+\tfrac{\pi}{3}.
    Seus valores são:
f\Bigl(-\tfrac{\pi}{3}\Bigr) =4\Bigl(-\tfrac{\pi}{3}\Bigr)-\tan\Bigl(-\tfrac{\pi}{3}\Bigr) =-\tfrac{4\pi}{3}+\sqrt3,
f\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr) =4\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr)-\tan\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr) =\tfrac{4\pi}{3}-\sqrt3.

Passo 5

Derivada segunda e concavidade.
f''(x)=-\frac{d}{dx}(\operatorname{sec}^2 x)=-2\operatorname{sec}^2 x\tan x.
Temos ponto de inflexão onde f''(x)=0, isto é \tan x=0 \Rightarrow x=0.
  • Se -\tfrac{\pi}{2}<x<0, \tan x<0 \Rightarrow f''(x)>0 (côncavo para cima).
  • Se 0<x<\tfrac{\pi}{2}, \tan x>0 \Rightarrow f''(x)<0 (côncavo para baixo).

Resposta

O esboço é uma curva ímpar que:
  • Tem assíntotas verticais em x=\pm\tfrac{\pi}{2}, com y\to+\infty ao aproximar-se de -\tfrac{\pi}{2}^+ e y\to-\infty ao aproximar-se de \tfrac{\pi}{2}^-.
  • Passa pela origem (intercepto).
  • Decresce até um mínimo em \bigl(-\tfrac{\pi}{3},-\tfrac{4\pi}{3}+\sqrt3\bigr), depois cresce até um máximo em \bigl(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{4\pi}{3}-\sqrt3\bigr), e então decresce novamente.
  • É côncava para cima em \bigl(-\tfrac{\pi}{2},0\bigr) e côncava para baixo em \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr), com ponto de inflexão na origem.
Com esses dados, basta desenhar a curva ligando suavemente esses comportamentos.

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