Use o roteiro da Seçăo 4.5 para esboçar a curva.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva da função
seguindo o roteiro de análise de curvas (domínio, continuidade, simetria, interceptos, assíntotas, derivadas, monotonia e concavidade).
Passo 2
Domínio e simetria.
A função está definida sempre que for finito, ou seja em
A função está definida sempre que
Além disso,
logo
é ímpar e o gráfico é simétrico em relação à origem.
Passo 3
Intercepto e assíntotas.
Em temos
Em
portanto o gráfico passa pela origem. Como o domínio se aproxima de
, perto de
temos
e então
indicando assíntota vertical em
com
. Similarmente, para
,
e
logo assíntota vertical também em
com
.
Passo 4
Derivada primeira e monotonia.
Para
basta
, ou seja
, daí
Analisando o sinal de
:
- Em
, (decrescente). - Em
, (crescente). - Em
, volta a ter .
Logo há um mínimo local eme um máximo local em .
Seus valores são:
Passo 5
Derivada segunda e concavidade.
Temos ponto de inflexão onde
, isto é
.
- Se
, (côncavo para cima). - Se
, (côncavo para baixo).
Resposta
O esboço é uma curva ímpar que:
- Tem assíntotas verticais em
, com ao aproximar-se de e ao aproximar-se de . - Passa pela origem (intercepto).
- Decresce até um mínimo em
, depois cresce até um máximo em , e então decresce novamente. - É côncava para cima em
e côncava para baixo em , com ponto de inflexão na origem.
Com esses dados, basta desenhar a curva ligando suavemente esses comportamentos.