Use o roteiro da Seçăo 4.5 para esboçar a curva.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva
usando o roteiro de análise de função: determinar domínio, interceptos, comportamento nas extremidades, derivadas para monotonia e extremos, derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão.
Passo 2
Domínio e interceptos
O expoente está bem definido para todo
, logo o domínio é
.
Para obtemos o intercepto no eixo
:
O expoente
Para
Não existem raízes pois
para todo
.
Passo 3
Comportamento em
Como o termo dominante no expoente é , temos
Como o termo dominante no expoente é
Logo
é assíntota horizontal.
Passo 4
Derivada primeira e monotonia
Cancelando o fator expoencial positivo, a única raiz de
é
.
Para ,
implica
(cresce).
Para ,
implica
(decresce).
Portanto em há um máximo local. O valor é
Para
Para
Portanto em
Passo 5
Derivada segunda e concavidade
Usando produto,
Usando produto,
Fatorando
:
Zerando
dá
Passo 6
Intervalos de concavidade e pontos de inflexão
Como , o sinal de
vem de
:
Como
- Se
, então : concavidade para cima. - Se
, então : concavidade para baixo.
Os pontos de inflexão são.
Passo 7
Esboço final
- Gráfico com máximo em
. - Passa em
. - Cai para
quando , com assíntota horizontal . - Concava para cima em
e ; concava para baixo em .
Resposta
O esboço é uma “campânula” centrada em
, atinge o valor máximo
em
, passa por
e decai suavemente a zero quando
, trocando a concavidade em
.