Use o roteiro da Seçăo 4.5 para esboçar a curva.
y=e^{2 x-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva
y = e^{2x - x^2}
usando o roteiro de análise de função: determinar domínio, interceptos, comportamento nas extremidades, derivadas para monotonia e extremos, derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão.

Passo 2

Domínio e interceptos
O expoente 2x - x^2 está bem definido para todo x\in\mathbb{R}, logo o domínio é \mathbb{R}.
Para x=0 obtemos o intercepto no eixo y:
y(0)=e^{0}=1.
Não existem raízes pois e^{2x - x^2}>0 para todo x.

Passo 3

Comportamento em x\to\pm\infty
Como o termo dominante no expoente é -x^2, temos
\lim_{x\to\pm\infty}e^{2x - x^2} = e^{-\infty} = 0.
Logo y=0 é assíntota horizontal.

Passo 4

Derivada primeira e monotonia
y' = \frac{d}{dx}\bigl(e^{2x - x^2}\bigr) = \bigl(2 - 2x\bigr)\,e^{2x - x^2} =2(1 - x)\,e^{2x - x^2}.
Cancelando o fator expoencial positivo, a única raiz de y' é x=1.
Para x<1, 1-x>0 implica y'>0 (cresce).
Para x>1, 1-x<0 implica y'<0 (decresce).
Portanto em x=1 há um máximo local. O valor é
y(1) = e^{2\cdot1 - 1^2} = e^1 = e.

Passo 5

Derivada segunda e concavidade
Usando produto,
y'' = \frac{d}{dx}\Bigl[2(1 - x)e^{2x - x^2}\Bigr] =2\bigl(-1\bigr)e^{2x - x^2} +2(1 - x)\bigl(2 - 2x\bigr)e^{2x - x^2}.
Fatorando 2e^{2x - x^2}:
y'' = 2\,e^{2x - x^2}\Bigl[-1 + (1-x)(2-2x)\Bigr] =2\,e^{2x - x^2}\bigl[2(1-x)^2 - 1\bigr].
Zerando y''
2(1-x)^2 - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (1-x)^2 = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad x = 1 \pm \tfrac{1}{\sqrt2}.

Passo 6

Intervalos de concavidade e pontos de inflexão
Como e^{2x - x^2}>0, o sinal de y'' vem de 2(1-x)^2 -1:
  • Se \lvert1-x\rvert >1/\sqrt2, então 2(1-x)^2 -1>0: concavidade para cima.
  • Se \lvert1-x\rvert <1/\sqrt2, então 2(1-x)^2 -1<0: concavidade para baixo.
    Os pontos de inflexão são \bigl(1\pm1/\sqrt2,\;e^{2(1\pm1/\sqrt2)-(1\pm1/\sqrt2)^2}\bigr).

Passo 7

Esboço final
  • Gráfico com máximo em (1,e).
  • Passa em (0,1).
  • Cai para y\to0 quando x\to\pm\infty, com assíntota horizontal y=0.
  • Concava para cima em (-\infty,\,1-1/\sqrt2) e (1+1/\sqrt2,\,\infty); concava para baixo em (1-1/\sqrt2,\,1+1/\sqrt2).

Resposta

O esboço é uma “campânula” centrada em x=1, atinge o valor máximo y=e em x=1, passa por (0,1) e decai suavemente a zero quando x\to\pm\infty, trocando a concavidade em x=1\pm1/\sqrt2.

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