Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir. Encontre a posição da partícula.
a(t)=2 t+1 ; s(0)=3 ; v(0)=-2.

Passo 1

O enunciado dá a aceleração de uma partícula em movimento unidimensional como
a(t)=2t+1
com as condições iniciais de posição s(0)=3 e velocidade v(0)=-2. Para encontrar a posição s(t), primeiro integramos a(t) para obter v(t) e depois integramos v(t) para obter s(t).

Passo 2

Integramos a(t) para obter a velocidade v(t).
v(t)=\int a(t)\,\mathrm{d}t = \int (2t+1)\,\mathrm{d}t = t^2 + t + C_1

Passo 3

Usamos a condição inicial v(0)=-2 para determinar C_1:
v(0)=0^2+0+C_1=-2 \quad\Longrightarrow\quad C_1=-2
Logo,
v(t)=t^2 + t - 2

Passo 4

Agora integramos v(t) para obter a posição s(t):
s(t)=\int v(t)\,\mathrm{d}t = \int (t^2 + t - 2)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 - 2t + C_2

Passo 5

Aplicamos a condição inicial s(0)=3 para encontrar C_2:
s(0)=\frac{1}{3}\cdot0^3+\frac{1}{2}\cdot0^2-2\cdot0+C_2=3 \quad\Longrightarrow\quad C_2=3
Portanto, a posição é
s(t)=\frac{1}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 - 2t + 3.

Resposta

s(t)=\frac{1}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 - 2t + 3

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