Questão 01 — Integrais Definidas
\int_{0}^{2}\left(x^{2}-2 x+3\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral definida
\int_{0}^{2}\bigl(x^{2}-2x+3\bigr)\,dx
que é um caso clássico de aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver, vamos descobrir uma antiderivada F(x) de f(x)=x^{2}-2x+3 e depois avaliar F(2)-F(0).

Passo 2

Integramos termo a termo:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},\qquad \int (-2x)\,dx = -x^{2},\qquad \int 3\,dx = 3x.
Logo uma antiderivada é
F(x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3x.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{2}\bigl(x^{2}-2x+3\bigr)\,dx = F(2)-F(0).
Agora calculamos cada termo:
F(2) = \frac{2^{3}}{3} - 2^{2} + 3\cdot2 = \frac{8}{3} - 4 + 6,
F(0) = \frac{0}{3} - 0 + 0 = 0.

Passo 4

Simplificando F(2):
\frac{8}{3} - 4 + 6 = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8 + 6}{3} = \frac{14}{3}.
Como F(0)=0, a integral vale \tfrac{14}{3}.

Resposta

\int_{0}^{2}\bigl(x^{2}-2x+3\bigr)\,dx = \frac{14}{3}.

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