Uma partícula move-se de acordo com a equação x(t)=3+4 t+6 t^{\wedge} 2+4 t \wedge 3, onde x está em metros e t em segundos.
(i) Encontre a velocidade e a aceleração para todos os tempos.
(ii) Em que tempo a velocidade é igual a 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?
(iii) Nesse instante, qual é a aceleração?

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula em função do tempo:
x(t)=3+4t+6t^{2}+4t^{3},
com x em metros e t em segundos. Preciso (i) encontrar a velocidade v(t) e a aceleração a(t), (ii) achar o instante em que v=1,m/s e (iii) calcular a nesse instante.

Passo 2

A velocidade é a derivada de x(t) em relação a t:
v(t)=x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3+4t+6t^{2}+4t^{3}\bigr) =4+12t+12t^{2}.
A aceleração é a derivada de v(t) em relação a t:
a(t)=v'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(4+12t+12t^{2}\bigr) =12+24t.

Passo 3

Para encontrar t tal que v(t)=1, resolvemos
4+12t+12t^{2}=1 \;\Longrightarrow\; 12t^{2}+12t+3=0 \;\Longrightarrow\; 4t^{2}+4t+1=0.
O discriminante é \Delta=4^{2}-4\cdot4\cdot1=0, logo a única solução é
t=-\frac{4}{2\cdot4}=-\tfrac12\\ \text{s}.

Passo 4

Agora calculamos a em t=-\tfrac12:
a\bigl(-\tfrac12\bigr)=12+24\bigl(-\tfrac12\bigr) =12-12=0\\ \text{m/s}^2.

Resposta

(i) v(t)=4+12t+12t^{2}, a(t)=12+24t
(ii) t=-\tfrac12\\ \text{s}
(iii) a(-\tfrac12)=0\\ \text{m/s}^{2}

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