Uma partícula move-se de acordo com
.
(i) Encontre a velocidade média
entre
e
(ii) entre
e
.
(iii) Ela alguma vez chega a
?
(iv) Confirme a resposta reescrevendo
como um quadrado perfeito.
(i) Encontre a velocidade média
(ii) entre
(iii) Ela alguma vez chega a
(iv) Confirme a resposta reescrevendo
Passo 1
O enunciado nos dá a posição de uma partícula em função do tempo
e pede:
- a velocidade média
nos intervalos a e a ; - verificar se em algum instante temos
; - reescrever
como um quadrado perfeito.
Para isso vamos usar: definição de velocidade média como, análise de raízes de uma parábola (discriminante) e fatoração completa.
Passo 2
Para o intervalo de
a
, a velocidade média é
Calculemos
e
:
Logo,
Passo 3
Para o intervalo de
a
, temos
Já sabemos
. Agora calculemos
:
Portanto,
Passo 4
Para saber se existe tempo em que
, resolvemos a equação
O discriminante é
logo há uma raiz dupla em
Como o coeficiente de
é positivo, a parábola abre para cima e toca o eixo
apenas em
, ficando
para todo
. Assim, nunca temos
.
Passo 5
Podemos confirmar reescrevendo
como quadrado perfeito. Note que
Isso mostra diretamente que
e atinge zero só em
.
Resposta
(i)
.
(ii) .
(iii) Não, nunca fica negativa; atinge zero somente em
.
(iv) .
(ii)
(iii) Não,
(iv)