Uma partícula move-se de acordo com x(t)=5-10 t+5 t^{\wedge} 2.
(i) Encontre a velocidade média \bar{v} entre t=0 e t=1 e
(ii) entre \mathrm{t}=0 e \mathrm{t}=2.
(iii) Ela alguma vez chega a \mathrm{x}<0 ?
(iv) Confirme a resposta reescrevendo x(t) como um quadrado perfeito.

Passo 1

O enunciado nos dá a posição de uma partícula em função do tempo
x(t)=5-10\,t+5\,t^2
e pede:
  1. a velocidade média \bar{v} nos intervalos t=0 a t=1 e t=0 a t=2;
  2. verificar se em algum instante temos x<0;
  3. reescrever x(t) como um quadrado perfeito.
    Para isso vamos usar: definição de velocidade média como \bar{v}=\Delta x/\Delta t, análise de raízes de uma parábola (discriminante) e fatoração completa.

Passo 2

Para o intervalo de t=0 a t=1, a velocidade média é
\bar{v}_{0\to1}=\frac{x(1)-x(0)}{1-0}.
Calculemos x(0) e x(1):
x(0)=5-10\cdot0+5\cdot0^2=5,
x(1)=5-10\cdot1+5\cdot1^2=5-10+5=0.
Logo,
\bar{v}_{0\to1}=\frac{0-5}{1}= -5.

Passo 3

Para o intervalo de t=0 a t=2, temos
\bar{v}_{0\to2}=\frac{x(2)-x(0)}{2-0}.
Já sabemos x(0)=5. Agora calculemos x(2):
x(2)=5-10\cdot2+5\cdot2^2=5-20+20=5.
Portanto,
\bar{v}_{0\to2}=\frac{5-5}{2}=0.

Passo 4

Para saber se existe tempo em que x(t)<0, resolvemos a equação
5t^2-10t+5=0.
O discriminante é
\Delta =(-10)^2-4\cdot5\cdot5=100-100=0,
logo há uma raiz dupla em
t=\frac{10}{2\cdot5}=1.
Como o coeficiente de t^2 é positivo, a parábola abre para cima e toca o eixo x apenas em t=1, ficando x(t)\ge0 para todo t. Assim, nunca temos x(t)<0.

Passo 5

Podemos confirmar reescrevendo x(t) como quadrado perfeito. Note que
x(t)=5t^2-10t+5=5\,(t^2-2t+1)=5\,(t-1)^2.
Isso mostra diretamente que x(t)\ge0 e atinge zero só em t=1.

Resposta

(i) \bar{v}_{0\to1}=-5.
(ii) \bar{v}_{0\to2}=0.
(iii) Não, x(t) nunca fica negativa; atinge zero somente em t=1.
(iv) x(t)=5\,(t-1)^2.

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