Uma partícula move-se com velocidade \mathrm{v}(\mathrm{t})=8 \mathrm{t}^{\wedge} 3-6 \mathrm{t}^{\wedge} 2.
Qual a distância percorrida entre t=1 e t=2 ?

Passo 1

O enunciado dá a velocidade da partícula como
v(t)=8t^3-6t^2
e pede a distância percorrida de t=1 até t=2. Para isso vamos usar que a distância é a integral do módulo da velocidade e, se v(t) mantiver sinal, a integral de v(t) basta.

Passo 2

Encontrar onde v(t)=0. Resolvemos
8t^3-6t^2=0
Fatorando,
2t^2(4t-3)=0
os zeros são t=0 (multiplicidade 2) e t=\tfrac{3}{4}.

Passo 3

Analisar o sinal de v(t) em [1,2]. Para t> \tfrac{3}{4} temos t^2>0 e 4t-3>0, logo
v(t)=2t^2(4t-3)>0\quad\text{em }[1,2].
Assim o deslocamento coincide com a distância, sem precisar de valor absoluto.

Passo 4

Calcular a integral
\int_{1}^{2}(8t^3-6t^2)\,dt.
Uma antiderivada é
F(t)=\int(8t^3-6t^2)\,dt=2t^4-2t^3.
Logo
\int_{1}^{2}(8t^3-6t^2)\,dt =\bigl[2t^4-2t^3\bigr]_{1}^{2} =(2\cdot16-2\cdot8)-(2\cdot1-2\cdot1) =16.

Resposta

A distância percorrida é 16 (unidades de comprimento).

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