Uma partícula se move no espaço com aceleração constante. No tempo zero, a partícula está em x=4,0 m, y=3,0 m e z=5,0 m. Para este tempo ( t=0 ), a velocidade e a aceleração são dadas por:
v=(6,0 m / s) i+(-7,0 m / s) j+(2,0 m / s) k e a=(3,0 m / s^2) i+(2,0 m / s^2) j
a) Determine a velocidade em t=2,0 s.
b) Determine a posição em t=3,0 s.
c) Forneça o módulo e o ângulo que o vetor posição faz com o plano x y em t=4,0 s.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma partícula com aceleração constante e nos dá, no instante inicial ( t=0):
• Posição inicial vec r0 = (4,0, m),hat imath + (3,0, m),hat jmath + (5,0, m),hat k.
• Velocidade inicial vec v0 = (6,0,m/s),hat imath + (-7,0,m/s),hat jmath + (2,0,m/s),hat k.
• Aceleração vec a = (3,0,m/s^2),hat imath + (2,0,m/s^2),hat jmath + (0),hat k.
Conteúdo: cinemática vetorial com aceleração constante. Vamos precisar das fórmulas
  1. vec v(t)=vec v0+vec a,t
  2. vec r(t)=vec r0+vec v0,t+tfrac12,vec a,t^2
  3. módulo de vetor e ângulo com plano xy:$$|\vec r|=\sqrt{x2+y2+z^2},\qquad\theta=\arctan!\Bigl(\frac{z}{\sqrt{x2+y2}}\Bigr),. $$

Passo 2

Calcular vec v(2, s) usando vec v=vec v0+vec a,t:
• Componente x: vx=6,0+3,0cdot 2=6+6=12;m/s.
• Componente y: vy=-7,0+2,0cdot 2=-7+4=-3;m/s.
• Componente z: vz=2,0+0cdot 2=2;m/s.
Logo,
vec v(2)=12,hatimath-3,hatjmath+2,hat k(m/s)

Passo 3

Calcular vec r(3, s) com vec r=vec r0+vec v0,t+tfrac12vec a,t^2:
x:
$$4{,}0+6{,}0\cdot 3+\tfrac12,(3{,}0)\cdot 3^2
  =4+18+1{,}5\cdot9=4+18+13{,}5=35{,}5\;\mathrm m.$$  
4,0+6,0cdot 3+tfrac12,(3,0)cdot 3^2 =4+18+1,5cdot9=4+18+13,5=35,5; m:
$$3{,}0+(-7{,}0)\cdot3+\tfrac12,(2{,}0)\cdot3^2
  =3-21+1\cdot9=3-21+9=-9\;\mathrm m.$$  
y:
$$5{,}0+2{,}0\cdot3+\tfrac12\cdot0\cdot3^2
  =5+6+0=11\;\mathrm m.$$  
Portanto
3,0+(-7,0)cdot3+tfrac12,(2,0)cdot3^2 =3-21+1cdot9=3-21+9=-9; m

Passo 4

  1. Primeiro, vec r(4) usando a mesma fórmula ( t=4):
    x=4+6cdot4+tfrac12cdot3cdot4^2=4+24+1,5cdot16=4+24+24=52,m
    y=3+(-7)cdot4+tfrac12cdot2cdot16=3-28+1cdot16=-9,m
    z=5+2cdot4+0=13,m
    Então vec r(4)=(52,-9,13),m.
  2. Módulo em t=4:
    $$|\vec r(4)|=\sqrt{522+(-9)2+13^2}
    =\sqrt{2704+81+169}=\sqrt{2954}\approx54{,}36;\mathrm m.$$
  3. Ângulo |vec r(4)|=raiz52^2+(-9)^2+13^2 =raiz2704+81+169=raiz2954approx54,36; m com o plano theta:
    projetamos xy no vec r, cujo módulo é xym,
    raiz52^2+(-9)^2=raiz2785approx52,77,

Resposta

a) vec v(2)=12,hatimath-3,hatjmath+2,hat k;(m/s)
b) vec r(3)=35,5,hatimath-9,hatjmath+11,hat k;( m)
c) Em t=4,
|vec r|approx54,36,m
• ângulo com o plano xy: thetaapprox13,9^circ.

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