Uma partícula se move ao longo da curva definida por
sigma(t)=(t+sin (t), 1+cos (t)), 0 <= t <= 2 pi
a) ( 1,0 pt ) Determine os instantes t0, t1 in[0,2 pi] onde a velocidade escalar da partícula é v(t)=1 m / s;
b) ( 1,0 pt ) Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo [t0, t1].

Passo 1

O enunciado nos dá uma partícula descrevendo a curva paramétrica
sigma(t)=(t+sin t,;1+cos t) para 0<= t<=2pi.
Na parte (a) precisamos achar os instantes t0,t1 em que a velocidade escalar
v(t)=l|sigma'(t)r| vale 1.
Na parte (b) vamos calcular o espaço percorrido entre esses instantes, ou seja, o comprimento de arco
S=integralt0^t1v(t),dt.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada
sigma'(t)=(1+cos t,;-,sin t).
Logo a velocidade escalar é
v(t)=raiz(1+cos t)^2+(-sin t)^2 =raiz1+2cos t+cos^2t+sin^2t =raiz2+2cos t =2l|cos!tfrac t2r|

Passo 3

Queremos resolver
v(t)=1 Longrightarrow 2l|costfrac t2r|=1 Longrightarrow l|costfrac t2r|=tfrac12
Isso dá cos(tfrac t2)=pmtfrac12, cujas soluções em [0,2pi] são
t0=tfrac2pi3 e t1=tfrac4pi3.

Passo 4

O espaço percorrido é
S=integralt0^t1v(t),dt =integral2pi/3^4pi/32l|costfrac t2r|,dt
Fazendo a troca u=t/2, dt=2,du, e usando a simetria de cos em [pi/3,2pi/3], obtemos
S =4integralpi/3^2pi/3l|cos ur|,du =4l[integralpi/3^pi/2cos u,du -integralpi/2^2pi/3cos u,dur] =4l(2-raiz3r) =8-4raiz3

Resposta

t0=tfrac2pi3, t1=tfrac4pi3
S=8-4raiz3 m

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