Uma partícula se move ao longo da curva C1 definida por alpha(t)=(t^2, t^3), t in R e uma partícula P2 se move ao longo da curva C2 definida por beta(t)=(cos (2 t), raiz2 cos ^2 t-1), t in[0, pi / 4].
a) Determine as equações cartesianas das curvas acima.
b) Determine as equações paramétricas da reta tangente á curva alpha, no ponto ( 4,8 ).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem duas curvas definidas por funções paramétricas e precisamos fazer duas coisas:
a) Encontrar as equações cartesianas dessas curvas.
b) Descobrir as equações paramétricas da reta tangente à primeira curva no ponto (4,8).
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre como passar de coordenadas paramétricas para cartesianas e como encontrar a equação da reta tangente a uma curva em um ponto específico.

Passo 2

Parte a: Encontrar as equações cartesianas das curvas
Vamos começar com a primeira curva C1 definida por:
alpha(t) = (t^2, t^3)
Aqui, temos x = t^2 e y = t^3 . A ideia é eliminar o parâmetro t para obter uma relação direta entre x e y .
Como x = t^2 , podemos expressar t em função de x :
t = raizx
Agora, substituímos isso na equação de y :
y = (raizx)^3 = x^32
Então, a equação cartesiana da curva C1 é:
y = x^32

Passo 3

Agora, vamos para a segunda curva C2 definida por:
beta(t) = (cos(2t), raiz2 cos^2 t - 1)
Aqui, temos x = cos(2t) e y = raiz2 cos^2 t - 1 . Precisamos eliminar o parâmetro t .
Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica:
cos(2t) = 2cos^2 t - 1
Observando isso, vemos que:
x = cos(2t) = 2cos^2 t - 1
Vamos resolver essa equação para cos^2 t :
2cos^2 t = x + 1
cos^2 t = x + 12
Agora, substituímos cos^2 t na expressão de y :
y = raiz2 cdot x + 12 - 1 = raiz(x + 1) - 1 = raizx
Então, a equação cartesiana da curva C2 é:
y = raizx

Passo 4

Parte b: Encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva alpha no ponto (4,8)
Primeiro, precisamos encontrar o valor de t que nos dá o ponto (4,8) na curva alpha(t) = (t^2, t^3) .
Sabemos que:
t^2 = 4 e t^3 = 8
Resolvendo t^3 = 8 , temos t = 2 porque 2^3 = 8 .
Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada da função para obter a inclinação da tangente.
A derivada de alpha(t) = (t^2, t^3) em relação a t é:
alpha'(t) = (2t, 3t^2)
No ponto t = 2 :
alpha'(2) = (4, 12)
A inclinação da reta tangente é o coeficiente que multiplica t na direção da reta, ou seja, a direção do vetor (4,12) .
Para escrever as equações paramétricas da reta tangente, usamos o ponto de tangência (4,8) e o vetor diretor (4,12) :
x = 4 + 4s
y = 8 + 12s
onde s é o parâmetro da reta.

Resposta

a) As equações cartesianas das curvas são:
C1: y = x^32
C2: y = raizx
b) As equações paramétricas da reta tangente à curva alpha no ponto (4,8) são:
x = 4 + 4s
y = 8 + 12s
onde s é o parâmetro da reta.

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