Uma partícula se move ao longo da curva
definida por
e uma partícula
se move ao longo da curva
definida por
.
a) Determine as equações cartesianas das curvas acima.
b) Determine as equações paramétricas da reta tangente á curva
, no ponto ( 4,8 ).
a) Determine as equações cartesianas das curvas acima.
b) Determine as equações paramétricas da reta tangente á curva
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem duas curvas definidas por funções paramétricas e precisamos fazer duas coisas:
a) Encontrar as equações cartesianas dessas curvas.
b) Descobrir as equações paramétricas da reta tangente à primeira curva no ponto (4,8).
b) Descobrir as equações paramétricas da reta tangente à primeira curva no ponto (4,8).
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre como passar de coordenadas paramétricas para cartesianas e como encontrar a equação da reta tangente a uma curva em um ponto específico.
Passo 2
Parte a: Encontrar as equações cartesianas das curvas
Vamos começar com a primeira curva
definida por:
Aqui, temos
e
. A ideia é eliminar o parâmetro
para obter uma relação direta entre
e
.
Como
, podemos expressar
em função de
:
Agora, substituímos isso na equação de
:
Então, a equação cartesiana da curva
é:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda curva
definida por:
Aqui, temos
e
. Precisamos eliminar o parâmetro
.
Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica:
Observando isso, vemos que:
Vamos resolver essa equação para
:
Agora, substituímos
na expressão de
:
Então, a equação cartesiana da curva
é:
Passo 4
Parte b: Encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva
no ponto (4,8)
Primeiro, precisamos encontrar o valor de
que nos dá o ponto (4,8) na curva
.
Sabemos que:
Resolvendo
, temos
porque
.
Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada da função para obter a inclinação da tangente.
A derivada de
em relação a
é:
No ponto
:
A inclinação da reta tangente é o coeficiente que multiplica
na direção da reta, ou seja, a direção do vetor
.
Para escrever as equações paramétricas da reta tangente, usamos o ponto de tangência
e o vetor diretor
:
onde
é o parâmetro da reta.
Resposta
a) As equações cartesianas das curvas são:
b) As equações paramétricas da reta tangente à curva
no ponto (4,8) são:
onde
é o parâmetro da reta.