Sejam
e
dois números reais e considere a equação diferencial de segunda ordem
Apresente um valor de
de forma que a solução geral da equação associada a esses valores seja
.
Passo 1
A gente tem uma equação diferencial de 2ª ordem com coeficientes constantes:
y’’ + α y’ + β y = 0. O conteúdo aqui é resolver usando a equação característica para achar α e β de modo que a solução geral seja y(x)=C₁ e^(–5x) cos(9x)+C₂ e^(–5x) sin(9x).
y’’ + α y’ + β y = 0. O conteúdo aqui é resolver usando a equação característica para achar α e β de modo que a solução geral seja y(x)=C₁ e^(–5x) cos(9x)+C₂ e^(–5x) sin(9x).
Passo 2
Escrevendo a equação característica associada, temos
Quando as raízes são complexas conjugadas a ± bi, a solução geral é y = e^{ax}(C₁ cos(bx)+C₂ sin(bx)).
Passo 3
Pela forma dada y(x)=C₁ e^(–5x) cos(9x)+C₂ e^(–5x) sin(9x), identificamos a parte real a = –5 e a parte imaginária b = 9.
Passo 4
Usamos as relações entre coeficientes e raízes:
- A soma das raízes é r₁ + r₂ = –α. Como r₁ + r₂ = 2a = 2(–5) = –10, vem α = 10.
- O produto das raízes é r₁·r₂ = β. Como r₁·r₂ = (–5+9i)(–5–9i) = 25 + 81 = 106, vem β = 106.
Resposta
(\alpha,\beta) = (10,106)