Sejam alpha e beta dois números reais e considere a equação diferencial de segunda ordem
y^prime prime+alpha y^prime+beta y=0
Apresente um valor de (alpha, beta) de forma que a solução geral da equação associada a esses valores seja y(x)=C1 e^-5 x cos (9 x)+C2 e^-5 x sin (9 x).

Passo 1

A gente tem uma equação diferencial de 2ª ordem com coeficientes constantes:
y’’ + α y’ + β y = 0. O conteúdo aqui é resolver usando a equação característica para achar α e β de modo que a solução geral seja y(x)=C₁ e^(–5x) cos(9x)+C₂ e^(–5x) sin(9x).

Passo 2

Escrevendo a equação característica associada, temos
r^2 + α r + β = 0
Quando as raízes são complexas conjugadas a ± bi, a solução geral é y = e^{ax}(C₁ cos(bx)+C₂ sin(bx)).

Passo 3

Pela forma dada y(x)=C₁ e^(–5x) cos(9x)+C₂ e^(–5x) sin(9x), identificamos a parte real a = –5 e a parte imaginária b = 9.

Passo 4

Usamos as relações entre coeficientes e raízes:
  • A soma das raízes é r₁ + r₂ = –α. Como r₁ + r₂ = 2a = 2(–5) = –10, vem α = 10.
  • O produto das raízes é r₁·r₂ = β. Como r₁·r₂ = (–5+9i)(–5–9i) = 25 + 81 = 106, vem β = 106.

Resposta

(\alpha,\beta) = (10,106)

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