Sejam alpha e beta dois números reais e considere a equação diferencial de segunda ordem
y^prime prime+alpha y^prime+beta y=0
Apresente um valor de (alpha, beta) de forma que a solução geral da equação associada a esses valores seja y(x)=C1 e^raiz5 x+C2 e^raiz7 x.

Passo 1

O exercício pede para achar valores de (alpha, beta) tal que a solução geral de
y''+alpha y'+beta y=0
seja y(x)=C1e^raiz5x+C2e^raiz7x. O conteúdo aqui é equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e vamos usar o polinômio característico.

Passo 2

Para resolver, substituímos a solução do tipo y=e^rx na equação diferencial. Isso leva ao polinômio característico
r^2+alpha r+beta=0
cujo conjunto de raízes deve ser r1=raiz5 e r2=raiz7.

Passo 3

Pelo teorema de Viète para quadráticas, as raízes satisfazem
r1+r2=-alpha,
r1r2=beta
Portanto temos alpha=-(r1+r2) e beta=r1r2.

Passo 4

Substituindo r1=raiz5 e r2=raiz7, obtemos:
alpha=-(raiz5+raiz7),
beta=raiz5cdotraiz7=raiz35

Resposta

(\alpha,\beta)=\bigl(-(\sqrt5+\sqrt7),,\sqrt{35}\bigr)

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