Sejam
e
dois números reais e considere a equação diferencial de segunda ordem
Apresente um valor de
de forma que a solução geral da equação associada a esses valores seja
.
Passo 1
O exercício pede para achar valores de
tal que a solução geral de
seja
. O conteúdo aqui é equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e vamos usar o polinômio característico.
Passo 2
Para resolver, substituímos a solução do tipo
na equação diferencial. Isso leva ao polinômio característico
cujo conjunto de raízes deve ser
e
.
Passo 3
Pelo teorema de Viète para quadráticas, as raízes satisfazem
Portanto temos
e
.
Passo 4
Substituindo
e
, obtemos:
Resposta
(\alpha,\beta)=\bigl(-(\sqrt5+\sqrt7),,\sqrt{35}\bigr)