Resolva os problemas a seguir utilizando mudança polar de coordenadas.
Calcule o volume da região interior à esfera
e que fica localizada fora do cilindro
.
Calcule o volume da região interior à esfera
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse problema juntos. A gente precisa calcular o volume da região que está por dentro da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25 $ mas que está fora do cilindro $ x^{2} + y^{2} = 9 $. Para isso, vamos usar a mudança para coordenadas cilíndricas, que facilita bastante na hora de trabalhar com simetrias circulares como essas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona a coordenada cilíndrica. A gente tem três coordenadas: $ r $ (raio), $ \theta $ (ângulo) e $ z $ (altura). As relações para converter de coordenadas cartesianas para cilíndricas são:
E o volume em coordenadas cilíndricas é dado por $ dV = r, dr, d\theta, dz $.
Passo 3
Agora, precisamos expressar as equações da esfera e do cilindro em coordenadas cilíndricas.
Para a esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25 $:
Isso nos dá os limites para $ z $ em termos de $ r $.
Para o cilindro $ x^{2} + y^{2} = 9 $:
Esse é o limite inferior para $ r $, já que queremos a região fora do cilindro.
Passo 4
Vamos estabelecer os limites de integração:
- $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ para cobrir toda a volta.
- $ r $ varia de $ 3 $ a $ \sqrt{25 - z^{2}} $, mas na verdade, é mais fácil inverter a ordem das integrais para facilitar o cálculo.
- $ z $ varia de $ -\sqrt{25 - r^{2}} $ a $ \sqrt{25 - r^{2}} $.
Mas para simplificar, vamos integrar primeiro em $ z $, depois em $ r $ e finalmente em $ \theta $.
Passo 5
Montamos a integral tripla para o volume $ V $:
Aqui, $ r $ vai de $ 3 $ (cilindro) até $ 5 $ (raio da esfera, já que $ r^{2} + z^{2} = 25 $ e $ z $ pode ser zero no máximo).
Passo 6
Vamos resolver a integral em $ z $ primeiro:
Então a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos em $ r $. Vamos fazer a substituição $ u = 25 - r^{2} $, então $ du = -2r, dr $. Ajustando os limites:
- Quando $ r = 3 $, $ u = 25 - 9 = 16 $
- Quando $ r = 5 $, $ u = 25 - 25 = 0 $
A integral em $ r $ fica:
Passo 8
Agora, integramos em $ \theta $:
Resposta
O volume da região solicitada é $ \dfrac{256\pi}{3} $ unidades cúbicas.