Uma partícula move-se ao longo da direção x sob efeito de uma força F(x)=-k1 x+k2 x^2, onde k1=200 N / m e k2=300 N / m. (a) calcule a energia potencial da partícula, tomando U(0)=0, e faça um gráfico de U(x) para -0,5 m. (b) Ache as posições de equilíbrio da partícula e discuta sua estabilidade. © Para que domínio de valores de x e da energia total E a partícula pode ter um movimento oscilatório? (d) Discuta qualitativamente a natureza do movimento da partícula nas demais regiões do eixo x.

Passo 1

Beleza, a questão diz que a partícula sente uma força
F(x) = -k1 x + k2 x^2,
com e .
O que pedem:
(a) achar a energia potencial (sabendo que ) e desenhar o gráfico entre  m e  m;
(b) achar as posições de equilíbrio e ver se são estáveis ou não;
© dizer para quais valores de e de energia total dá para ter oscilações;
(d) discutir qualitativamente o que acontece fora dessa região.
Vamos usar a ideia básica de Mecânica Clássica:
F(x)=−dU/dx ⇒ U(x)=−∫F(x)dx.

Passo 2

Calcular F(x)=-k1 x + k2 x^2 Longrightarrow dUdx=-F(x)=k1 x - k2 x^2 .
Como
U(x)=integral(k1 x - k2 x^2),dx =k12x^2 - k23x^3 + C
integramos:
boxedU(x)=k12x^2 - k23x^3
Como , temos .
Logo:

Passo 3

Gráfico de U(-0,5)=tfrac2002(0,5)^2-tfrac3003(-0,5)^3 =25 +12,5 =37,5rm,J, para Ul(tfrac23r) =tfrac2002l(tfrac23r)^2 -tfrac3003l(tfrac23r)^3 =4009-80027=40027approx14,81rm,J  m.
  • Em ,
  • Em , .
  • Em ,
  • Para a parte cúbica domina e cai rápido (tende a ).
    Então o gráfico tem:
    quando ;
    • mínimo em ( );
    • máximo local em ( );
    • depois decresce para em .

Passo 4

Equilíbrios e estabilidade.
Equilíbrio: -k1 x + k2 x^2=0 Longrightarrow x,( -k1 + k2 x)=0 ;Longrightarrow; x=0, x=k1k2=200300=23rm,m
U'(x)=k1 x - k2 x^2, U''(x)=k1 -2k2 x
Pra ver se é estável, olhamos :
  • Em : ⇒ mínimo ⇒ equilíbrio estável.
  • Em : ⇒ máximo ⇒ instável.

Passo 5

Domínio de oscilação.
Oscilações só rolam em torno do mínimo estável ( 0). A partícula fica presa entre os dois pontos onde , desde que
Para energias nessa faixa, existem duas raízes reais de , uma e outra , e o movimento fica limitadinho entre e .

Passo 6

Movimento fora dessa região.
  • Se : não há região permitida ( para todo ), a partícula não se move.
  • Se : fica presa no mínimo .
  • Se : a partícula vence a barreira em e sai acelerando para (movimento não periódico). No lado esquerdo o potencial vai a em , então ela nunca escapa pra lá.

Resposta

(a)
U(x)=2002x^2 - 3003x^3 =100,x^2 -100,x^3,
gráfico com mínimo em 0 e máximo local em .
(b) Equilíbrios em (estável) e (instável).
© Oscilações para
com variando entre as raízes de .
(d) Para a partícula escapa para ; para não há movimento; fica em .

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