Uma partícula move-se ao longo da direção
sob efeito de uma força
, onde
e
. (a) calcule a energia potencial da partícula, tomando
, e faça um gráfico de
para
. (b) Ache as posições de equilíbrio da partícula e discuta sua estabilidade. © Para que domínio de valores de
e da energia total
a partícula pode ter um movimento oscilatório? (d) Discuta qualitativamente a natureza do movimento da partícula nas demais regiões do eixo
.
Passo 1
Beleza, a questão diz que a partícula sente uma força
com
e
.
O que pedem:
(a) achar a energia potencial (sabendo que
) e desenhar o gráfico entre
m e
m;
(b) achar as posições de equilíbrio e ver se são estáveis ou não;
© dizer para quais valores de e de energia total
dá para ter oscilações;
(d) discutir qualitativamente o que acontece fora dessa região.
Vamos usar a ideia básica de Mecânica Clássica:
F(x)=−dU/dx ⇒ U(x)=−∫F(x)dx.
O que pedem:
(a) achar a energia potencial
(b) achar as posições de equilíbrio e ver se são estáveis ou não;
© dizer para quais valores de
(d) discutir qualitativamente o que acontece fora dessa região.
Vamos usar a ideia básica de Mecânica Clássica:
F(x)=−dU/dx ⇒ U(x)=−∫F(x)dx.
Passo 2
Calcular
.
Como
Como
integramos:
Como
, temos
.
Logo:
Logo:
Passo 3
Gráfico de
para
m.
- Em
,
- Em
, . - Em
,
- Para
a parte cúbica domina e cai rápido (tende a ).
Então o gráfico tem:
•quando ;
• mínimo em( );
• máximo local em( );
• depois decresce paraem .
Passo 4
Equilíbrios e estabilidade.
Equilíbrio: ⇒
Equilíbrio:
Pra ver se é estável, olhamos
:
- Em
: ⇒ mínimo ⇒ equilíbrio estável. - Em
: ⇒ máximo ⇒ instável.
Passo 5
Domínio de oscilação.
Oscilações só rolam em torno do mínimo estável ( ). A partícula fica presa entre os dois pontos onde
, desde que
Oscilações só rolam em torno do mínimo estável (
Para energias nessa faixa, existem duas raízes reais de
, uma
e outra
, e o movimento fica limitadinho entre
e
.
Passo 6
Movimento fora dessa região.
- Se
: não há região permitida ( para todo ), a partícula não se move. - Se
: fica presa no mínimo . - Se
: a partícula vence a barreira em e sai acelerando para (movimento não periódico). No lado esquerdo o potencial vai a em , então ela nunca escapa pra lá.
Resposta
(a)
gráfico com mínimo em
e máximo local em
.
(b) Equilíbrios em (estável) e
(instável).
© Oscilações para
(b) Equilíbrios em
© Oscilações para
com
variando entre as raízes de
.
(d) Para a partícula escapa para
; para
não há movimento;
fica em
.
(d) Para