Uma particula move-se ao longo de um eixo x, obedecendo a função x = 2cos(pi t) (SI), em que x é a elongação e t é o tempo. Obtenha:
a) amplitude
b) frequência angular
c) período
d) frequência
e) fase inicial
f) os valores máximos da velocidade e da aceleração
g) as funções da elongação, velocidade e aceleração em função do tempo, no intervalo de t = 0 a t = 2s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula que se move ao longo de um eixo x, seguindo a função $ x = 2\cos(\pi t) $. Isso está relacionado ao Movimento Harmônico Simples (MHS). Para resolver as partes a) até g), vamos precisar entender conceitos como amplitude, frequência angular, período, frequência, fase inicial, velocidade, aceleração e as funções que descrevem o movimento.

Passo 2

a) Amplitude
A amplitude é a máxima distância que a partícula alcança a partir da posição de equilíbrio. Na função $ x = 2\cos(\pi t) $, o número que está multiplicando o cosseno é a amplitude.
Então, a amplitude $ A $ é:
x = 2cos(pi t)

Passo 3

b) Frequência Angular
A frequência angular $ \omega $ está dentro do argumento do cosseno na função. Na nossa função, ela é representada pelo coeficiente de $ t $, que é $ \pi $.
Então,
omega

Passo 4

c) Período
O período $ T $ é o tempo que a partícula leva para completar uma oscilação completa. Ele está relacionado com a frequência angular pela fórmula:
T
Substituindo $ \omega = \pi $:
T = 2piomega

Passo 5

d) Frequência
A frequência $ f $ é o número de oscilações que ocorrem por segundo. Ela é inversa ao período:
f
Com $ T = 2 $ segundos:
f = 1T

Passo 6

e) Fase Inicial
A fase inicial $ \phi $ é o valor de $ \phi $ na função geral do MHS:
phi
Nossa função é $ x = 2\cos(\pi t) $, que pode ser escrita como $ x = 2\cos(\pi t + 0) $. Portanto,
phi

Passo 7

f) Valores Máximos da Velocidade e da Aceleração
A velocidade $ v(t) $ é a derivada da posição $ x(t) $:
v(t)
A aceleração $ a(t) $ é a derivada da velocidade:
x(t)
Os valores máximos da velocidade e da aceleração ocorrem quando as funções seno e cosseno atingem seus valores máximos (1 ou -1).
Então,
v(t) = dxdt = -2pi sin(pi t) á
a(t) á

Passo 8

g) Funções da Elongação, Velocidade e Aceleração em Função do Tempo
Já temos as funções da elongação, velocidade e aceleração:
x(t) = 2cos(pi t)
v(t) = -2pi sin(pi t)
a(t) = -2pi^2 cos(pi t)
Essas funções descrevem o movimento da partícula no intervalo de $ t = 0 $ a $ t = 2 $ segundos.

Resposta

a) Amplitude: $ 2 , metros $
b) Frequência angular: $ \pi , rad/s $
c) Período: $ 2 , segundos $
d) Frequência: $ 0,5 , Hz $
e) Fase inicial: $ 0 , rad $
f) Valores máximos:
  • Velocidade: $ 2\pi , m/s $
  • Aceleração: $ 2\pi^2 , m/s^2 $
g) Funções no intervalo de $ t = 0 $ a $ t = 2 $ segundos:
2 , metros
pi , rad/s
2 , segundos

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