Uma partícula se move ao longo de uma trajetória curva com uma velocidade dada por v(t)=(3 t^2) i+(4 t) j m / s. No instante t=2 s, determine:
A componente tangencial da aceleração (at).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que uma partícula tem velocidade
vec v(t) = l(3t^2r),hatimath + l(4tr),hatjmath
e pede, em s, a componente tangencial da aceleração .
Conteúdo: Cinemática vetorial (velocidade e aceleração), módulo de vetor e derivadas.
O que vamos precisar:
  1. Calcular a aceleração .
  2. Entender que a aceleração tangencial é .
  3. Achar o módulo da velocidade e derivar em .

Passo 2

Primeiro, derivando componente a componente, a aceleração vetorial é
vec a(t) = ddtl[3t^2,hatimath + 4t,hatjmathr] = (6t),hatimath + (4),hatjmath
Isso é só derivada de potências: .

Passo 3

Agora, a aceleração tangencial at = ddtl|vec v(t)r| é a taxa de variação do módulo da velocidade, ou seja
Isso vem da decomposição da aceleração em parte tangencial (que muda o valor da velocidade) e parte normal (que muda só a direção).

Passo 4

Calcular o módulo da velocidade:
|vec v(t)| = raizl(3t^2r)^2 + (4t)^2 = raiz9t^4 + 16t^2 = t,raiz9t^2 + 16
Aqui usei e fatoração .

Passo 5

Agora derivamos ddtl[traiz9t^2+16r] = 1cdotraiz9t^2+16 + tcdot12raiz9t^2+16cdot(18t) .
Vamos usar regra do produto e cadeia:
at(t)=raiz9t^2+16;+;18t^22raiz9t^2+16 =raiz9t^2+16;+;9t^2raiz9t^2+16
Simplificando:
raiz9cdot2^2+16=raiz36+16=raiz52=2raiz13, 9cdot2^22raiz13=362raiz13=18raiz13
Agora plugamos at(2)=2raiz13+18raiz13 approx 7,21 + 4,99 = 12,20 m/s^2 :
Então

Resposta

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