Seja F: R^4 R^3 a transformação linear definida por:
F(x, y, z, t)=(x-y+z+t, x+2 z-t, x+y+3 z-3 t)
a) Encontre uma base e a dimensão da imagem de F.
b) Encontre uma base e a dimensão do núcleo de F.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Fcolon R^4 R^3, F(x,y,z,t)=l(x - y + z + t,;x + 2z - t,;x + y + 3z - 3tr)
Queremos (a) uma base e a dimensão da imagem de F e (b) uma base e a dimensão do núcleo de F. Para isso, vamos usar a representação matricial de F nas bases canônicas, aplicar escalonamento por linhas para encontrar o posto (rank) e resolver o sistema homogêneo F(x,y,z,t)=0.

Passo 2

Montamos a matriz de F em relação às bases canônicas de R^4 e R^3:
A = 1 & -1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 & -1 1 & 1 & 3 & -3 ,
cuja imagem é o espaço gerado pelas suas colunas e cujo núcleo é o conjunto de (x,y,z,t) tal que A,(x,y,z,t)^T=0.

Passo 3

Escalonamos A por linhas para determinar o posto e extrair uma base da imagem.
Aplicando
R2 R2 - R1, R3 R3 - R1,
vem
1 & -1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & -2 0 & 1 & 2 & -4
Em seguida
R3 R3 - R2
produz
1 & -1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & -2 0 & 0 & 1 & -2
Há três pivôs (colunas 1,2,3), logo diml(Im(F)r)=3. Uma base da imagem é dada pelas colunas correspondentes de A antes do escalonamento, por exemplo
l,F(e1),,F(e2),,F(e3)r =l(1,1,1),;(-1,0,1),;(1,2,3)r,
onde ei é o vetor canônico com 1 na posição i.

Passo 4

Para o núcleo resolvemos
Da terceira equação vem . Na primeira,
Assim
logo e uma base do núcleo é

Resposta

Dimensão da imagem: 3.
Base da imagem: (1,1,1),,(-1,0,1),,(1,2,3).
Dimensão do núcleo: 1.
Base do núcleo: (-3,0,2,1).

Exercícios relacionados