a) Encontre uma base e a dimensão da imagem de .
b) Encontre uma base e a dimensão do núcleo de .
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Queremos (a) uma base e a dimensão da imagem de e (b) uma base e a dimensão do núcleo de . Para isso, vamos usar a representação matricial de nas bases canônicas, aplicar escalonamento por linhas para encontrar o posto (rank) e resolver o sistema homogêneo .
Passo 2
Montamos a matriz de em relação às bases canônicas de e :
cuja imagem é o espaço gerado pelas suas colunas e cujo núcleo é o conjunto de (x,y,z,t) tal que A,(x,y,z,t)^T=0.
Passo 3
Escalonamos A por linhas para determinar o posto e extrair uma base da imagem.
Aplicando
R2 R2 - R1, R3 R3 - R1,
vem
1 & -1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & -2 0 & 1 & 2 & -4
Em seguida
R3 R3 - R2
produz
1 & -1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & -2 0 & 0 & 1 & -2
Há três pivôs (colunas 1,2,3), logo diml(Im(F)r)=3. Uma base da imagem é dada pelas colunas correspondentes de A antes do escalonamento, por exemplo