Uma partícula se move de modo que sua posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é \vec{r}=\hat{\imath}+4 \hat{\jmath}+t \hat{k}. Escreva expressões para (a) sua velocidade e (b) sua aceleração em função do tempo.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula (em metros) em função do tempo (em segundos):
\vec{r}(t)=\hat{\imath}+4\hat{\jmath}+t\hat{k}.
Pede-se:
(a) uma expressão para a velocidade em função do tempo;
(b) uma expressão para a aceleração em função do tempo.
Informações relevantes fornecidas:
  • A componente x(t) da posição é 1 (constante).
  • A componente y(t) da posição é 4 (constante).
  • A componente z(t) da posição é t (varia linearmente com o tempo).

Passo 2

Conceito importante que vamos usar (com explicação bem simples):
  • Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja,
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}.
  • A derivada de um vetor é feita componente a componente. Se \vec{r}(t)=x(t)\hat{\imath}+y(t)\hat{\jmath}+z(t)\hat{k}, então
\vec{v}(t)=\frac{dx}{dt}\,\hat{\imath}+\frac{dy}{dt}\,\hat{\jmath}+\frac{dz}{dt}\,\hat{k}.
Regras de derivação que usaremos (bem básicas):
  • A derivada de uma constante é zero: \dfrac{d}{dt}\text{(C)}=0.
  • A derivada de t em relação a t é 1: \dfrac{d}{dt}(t)=1.

Passo 3

Aplicando isso às componentes dadas:
x(t)=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dx}{dt}=0,
y(t)=4 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt}=0,
z(t)=t \quad\Rightarrow\quad \frac{dz}{dt}=1.
Portanto, escrevendo a velocidade componente a componente,
\vec{v}(t)=0\hat{\imath}+0\hat{\jmath}+1\hat{k}.

Passo 4

Simplificando a expressão da velocidade (tirando os zeros),
\vec{v}(t)=\hat{k}.
Interpretação física rápida e motivadora: a partícula move-se com velocidade constante de 1 m/s na direção +\hat{k}; não há movimento em x e y (essas coordenadas ficam fixas em 1 e 4).

Passo 5

Agora a aceleração. Conceito:
  • A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}.
Aplicamos novamente derivação componente a componente.

Passo 6

Derivando as componentes de \vec{v}(t)=0\hat{\imath}+0\hat{\jmath}+1\hat{k}:
\frac{d}{dt}(0)=0,\quad \frac{d}{dt}(0)=0,\quad \frac{d}{dt}(1)=0.
Logo
\vec{a}(t)=0\hat{\imath}+0\hat{\jmath}+0\hat{k}=\vec{0}.
Interpretação final curta: aceleração nula significa movimento retilíneo uniforme (velocidade constante), nada de aceleração ou desaceleração.

Resposta

(a) \vec{v}(t)=\hat{k}
(b) \vec{a}(t)=\vec{0}

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