Uma partícula se move de modo que sua posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é
. Escreva expressões para (a) sua velocidade e (b) sua aceleração em função do tempo.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula (em metros) em função do tempo (em segundos):
Pede-se:
(a) uma expressão para a velocidade em função do tempo;
(b) uma expressão para a aceleração em função do tempo.
(a) uma expressão para a velocidade em função do tempo;
(b) uma expressão para a aceleração em função do tempo.
Informações relevantes fornecidas:
- A componente
da posição é (constante). - A componente
da posição é (constante). - A componente
da posição é (varia linearmente com o tempo).
Passo 2
Conceito importante que vamos usar (com explicação bem simples):
- Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja,
- A derivada de um vetor é feita componente a componente. Se
, então
Regras de derivação que usaremos (bem básicas):
- A derivada de uma constante é zero:
. - A derivada de
em relação a é : .
Passo 3
Aplicando isso às componentes dadas:
Portanto, escrevendo a velocidade componente a componente,
Passo 4
Simplificando a expressão da velocidade (tirando os zeros),
Interpretação física rápida e motivadora: a partícula move-se com velocidade constante de
m/s na direção
; não há movimento em
e
(essas coordenadas ficam fixas em
e
).
Passo 5
Agora a aceleração. Conceito:
- A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
Aplicamos novamente derivação componente a componente.
Passo 6
Derivando as componentes de
:
Logo
Interpretação final curta: aceleração nula significa movimento retilíneo uniforme (velocidade constante), nada de aceleração ou desaceleração.
Resposta
(a)
(b)
(b)