A velocidade \vec{v} de uma partícula que se move no plano x y é dada por \vec{v}=(6,0 t- \left.4,0 t^{2}\right) \hat{\imath}+8,00 \hat{\jmath}, com \vec{v} em metros por segundo e t (>0) em segundos.
Qual é a aceleração quando t=3,0 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade da partícula em função do tempo (peguei os termos direto do enunciado):
\vec{v}=(6,0\,t-4,0\,t^{2})\hat{\imath}+8,00\hat{\jmath},
com \vec{v} em metros por segundo e t>0 em segundos.
A pergunta é: Qual é a aceleração quando t=3,0\\ \mathrm{s}?

Passo 2

Lembrete do conceito que vamos usar (pausa didática): a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Em fórmulas,
\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}.
Como \vec{v} tem componentes no eixo x e no eixo y, podemos diferenciar componente a componente:
\vec{v}=v_x(t)\,\hat{\imath}+v_y(t)\,\hat{\jmath} \quad\Rightarrow\quad \vec{a}=\frac{dv_x}{dt}\,\hat{\imath}+\frac{dv_y}{dt}\,\hat{\jmath}.
Regra prática de diferenciação que usarei (power rule): para \dfrac{d}{dt}\big(a\,t^{n}\big)=a\cdot n\,t^{n-1}. Em particular \dfrac{d}{dt}(t)=1, \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t e \dfrac{d}{dt}(\text{constante})=0.

Passo 3

Identifico as componentes de \vec{v}:
v_x(t)=6,0\,t-4,0\,t^{2},\qquad v_y(t)=8,00.
Agora derivo v_x(t) usando a regra do item anterior:
\frac{dv_x}{dt}=\frac{d}{dt}\big(6,0\,t\big)-\frac{d}{dt}\big(4,0\,t^{2}\big) =6,0-4,0\cdot 2\,t=6,0-8,0\,t.

Passo 4

Derivo v_y(t). Como v_y(t)=8,00 é constante,
\frac{dv_y}{dt}=0.

Passo 5

Junto as componentes da aceleração:
\vec{a}=(6,0-8,0\,t)\,\hat{\imath}+0\,\hat{\jmath}=(6,0-8,0\,t)\,\hat{\imath}.
Agora avalio em t=3,0\\ \mathrm{s}:
a_x=6,0-8,0\cdot 3,0=6,0-24,0=-18,0.
Portanto a componente y é zero e a componente x é -18,0.

Resposta

\vec{a}=-18,0\,\hat{\imath}\\ \mathrm{m\,s^{-2}}

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