Uma partícula tem as seguintes coordenadas: x=-5,0 \mathrm{~m}, y=8,0 \mathrm{mez}=0 \mathrm{~m}. Determine o seu vetor posição (a) em notação vetorial cartesiana, (b) sua magnitude e (c) o ângulo que o vetor posição forma em relação ao sentido positivo do eixo x. (d) Desenhe o vetor em um sistema de coordenadas dextrogiro. Se a partícula for movida para as coordenadas ( 3,00 \mathrm{~m}, 0 \mathrm{~m}, 0 \mathrm{~m} ), qual será seu deslocamento (e) em notação vetorial cartesiana, (f) qual a sua magnitude e (g) qual o ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x ?

Passo 1

Primeiro vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados (peguei os valores do enunciado):
    • posição inicial: \;x_i=-5{,}0\\ \mathrm{m},\;y_i=8{,}0\\ \mathrm{m},\;z_i=0{,}0\\ \mathrm{m}.
    • posição final: \;x_f=3{,}00\\ \mathrm{m},\;y_f=0{,}0\\ \mathrm{m},\;z_f=0{,}0\\ \mathrm{m}.
  • O enunciado pede:
    (a) vetor posição inicial em notação vetorial cartesiana;
    (b) magnitude do vetor posição inicial;
    (c) ângulo que o vetor posição inicial forma com o sentido positivo do eixo x;
    (d) desenhar o vetor em um sistema de coordenadas dextrogiro (instrução de desenho);
    (e) deslocamento (vetor) quando a partícula vai para a posição final, em notação vetorial cartesiana;
    (f) magnitude do deslocamento;
    (g) ângulo do deslocamento em relação ao sentido positivo do eixo x.
Agora que sabemos exatamente o que pedir, vamos resolver passo a passo.

Passo 2

(a) Representação vetorial cartesiana da posição inicial — conceito e escrita.
  • Conceito rápido: um vetor posição em coordenadas cartesianas é escrito como combinação linear dos vetores unitários dos eixos x, y e z. Os vetores unitários convencionais são \hat{\imath} (eixo x), \hat{\jmath} (eixo y) e \hat{k} (eixo z). Cada componente é a coordenada nessa direção.
  • Aplicando aos valores dados, a posição inicial \vec{r}_i é:
\vec{r}_i = x_i\,\hat{\imath} + y_i\,\hat{\jmath} + z_i\,\hat{k}.
  • Substituindo os números:
\vec{r}_i = -5{,}0\,\hat{\imath} + 8{,}0\,\hat{\jmath} + 0{,}0\,\hat{k}.

Passo 3

(b) Magnitude do vetor posição inicial — conceito e cálculo passo a passo.
  • Conceito: a magnitude (ou módulo) de um vetor \vec{r} = x\,\hat{\imath}+y\,\hat{\jmath}+z\,\hat{k} é dada por
\lVert \vec{r}\rVert = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Aqui x, y, z são as componentes do vetor em metros; o resultado será em metros também.
  • Aplicando a \vec{r}_i com x_i=-5{,}0, y_i=8{,}0, z_i=0{,}0:
\lVert \vec{r}_i\rVert = \sqrt{(-5{,}0)^{2} + (8{,}0)^{2} + (0{,}0)^{2}} = \sqrt{25{,}0 + 64{,}0 + 0{,}0} = \sqrt{89{,}0}.
  • Valor numérico: \sqrt{89{,}0}\approx 9{,}433\\ \mathrm{m}. (Arredonde quando for necessário na prova; aqui mantive 4 casas decimais para clareza.)

Passo 4

(c) Ângulo do vetor posição inicial em relação ao sentido positivo do eixo x — conceito, atenção com quadrantes e cálculo.
  • Conceito: o ângulo \theta que um vetor (x,y) no plano xy faz com o eixo x pode ser obtido usando a função arco-tangente:
\theta = \operatorname{atan2}(y,x),
onde \operatorname{atan2} é a versão do arco-tangente que leva em conta ambos x e y para colocar o ângulo no quadrante correto. Se usar apenas \theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right), é preciso ajustar o resultado conforme o sinal de x e y.
  • Aplicando aos números: x_i=-5{,}0 e y_i=8{,}0. O quociente é \dfrac{y_i}{x_i}=\dfrac{8{,}0}{-5{,}0}=-1{,}6.
  • \arctan(1{,}6)\approx 57{,}995^\circ. Como x_i<0 e y_i>0, o vetor está no segundo quadrante. O ângulo medido a partir do sentido positivo do eixo x (no sentido anti-horário) é
\theta_i = 180^\circ - 57{,}995^\circ \approx 122{,}005^\circ.
  • Arredondando: \theta_i \approx 122{,}0^\circ. Em radianos: \theta_i \approx 2{,}129\\ \mathrm{rad}.

Passo 5

(d) Como desenhar o vetor em um sistema de coordenadas dextrogiro — instrução prática (passo a passo para desenhar na prova).
  • Interpretação prática: um sistema de coordenadas dextrogiro é o sistema cartesiano direito (right-handed). Para desenhar no papel:
    1. Desenhar dois eixos perpendiculares, marcando o ponto de interseção como a origem O.
    2. Traçar o eixo x para a direita (sentido positivo) e o eixo y para cima (sentido positivo). Indicar \hat{\imath} à direita e \hat{\jmath} para cima. O eixo z apontaria para fora da página (se for necessário indicar).
    3. Marcar a posição (x_i,y_i)=(-5{,}0,\;8{,}0): a componente x_i=-5{,}0 significa 5 unidades para a esquerda da origem; a componente y_i=8{,}0 significa 8 unidades para cima.
    4. Colocar um ponto nesse local e desenhar uma seta do ponto O (origem) até esse ponto; a seta é o vetor \vec{r}_i.
    5. Opcional: indicar a magnitude aproximada e o ângulo \theta_i medido a partir do eixo x positivo no sentido anti-horário (no desenho do segundo quadrante, o ângulo fica entre 90^\circ e 180^\circ).
  • Observação de prova: faça a escala (por exemplo, 1 bloco = 1{,}0\\ \mathrm{m}) para que a posição fique proporcional. Isso é tudo que precisa ser desenhado.

Passo 6

(e) Vetor deslocamento \Delta\vec{r} — conceito e cálculo passo a passo.
  • Conceito: deslocamento é a diferença entre a posição final e a posição inicial:
\Delta\vec{r} = \vec{r}_f - \vec{r}_i.
Isso se aplica componente a componente: \Delta x = x_f - x_i, \Delta y = y_f - y_i, \Delta z = z_f - z_i.
  • Calculando as componentes:
    • \Delta x = 3{,}00 - (-5{,}0) = 3{,}00 + 5{,}0 = 8{,}00\\ \mathrm{m}.
    • \Delta y = 0{,}0 - 8{,}0 = -8{,}0\\ \mathrm{m}.
    • \Delta z = 0{,}0 - 0{,}0 = 0{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Assim o deslocamento é
\Delta\vec{r} = 8{,}00\,\hat{\imath} - 8{,}00\,\hat{\jmath} + 0{,}00\,\hat{k}.

Passo 7

(f) Magnitude do deslocamento — conceito e cálculo.
  • Mesma fórmula de magnitude:
\lVert \Delta\vec{r}\rVert = \sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2} + (\Delta z)^{2}}.
  • Substituindo \Delta x=8{,}00, \Delta y=-8{,}00, \Delta z=0{,}00:
\lVert \Delta\vec{r}\rVert = \sqrt{(8{,}00)^{2} + (-8{,}00)^{2} + 0^{2}} = \sqrt{64{,}0 + 64{,}0} = \sqrt{128{,}0}.
  • Simplificando \sqrt{128{,}0} = 8\sqrt{2}. Valor numérico: 8\sqrt{2}\approx 11{,}314\\ \mathrm{m}.

Passo 8

(g) Ângulo do deslocamento em relação ao sentido positivo do eixo x — conceito, tratamento de quadrante e cálculo.
  • Para o deslocamento usamos as componentes \Delta x=8{,}00 (positiva) e \Delta y=-8{,}00 (negativa). A razão é
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-8{,}00}{8{,}00} = -1{,}0.
  • \arctan(1{,}0)=45^\circ. Como \Delta x>0 e \Delta y<0, o vetor está no quarto quadrante. O ângulo medido desde o eixo x positivo no sentido anti-horário é
\theta_{\Delta r} = -45{,}0^\circ
(ou, se preferir um ângulo entre 0^\circ e 360^\circ, \theta_{\Delta r}=315{,}0^\circ). Em radianos: -\tfrac{\pi}{4}\\ \mathrm{rad} ou \tfrac{7\pi}{4}\\ \mathrm{rad}.

Resposta

(a) \vec{r}_i = -5{,}0\,\hat{\imath} + 8{,}0\,\hat{\jmath} + 0{,}0\,\hat{k}
(b) \lVert \vec{r}_i\rVert = \sqrt{89{,}0}\approx 9{,}433\\ \mathrm{m}
(c) \theta_i \approx 122{,}0^\circ (ou \approx 2{,}129\\ \mathrm{rad})
(d) Desenhe eixos cartesianos (origem O), eixo x para a direita, eixo y para cima (sistema dextrogiro). Marque o ponto (-5{,}0,\;8{,}0) (5 unidades à esquerda e 8 para cima) e desenhe uma seta de O até esse ponto representando \vec{r}_i.
(e) \Delta\vec{r} = 8{,}00\,\hat{\imath} - 8{,}00\,\hat{\jmath} + 0{,}00\,\hat{k}
(f) \lVert \Delta\vec{r}\rVert = 8\sqrt{2}\approx 11{,}314\\ \mathrm{m}
(g) \theta_{\Delta r} = -45{,}0^\circ (equivalente a 315{,}0^\circ ou -\tfrac{\pi}{4}\\ \mathrm{rad} / \tfrac{7\pi}{4}\\ \mathrm{rad})

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