Uma partícula tem as seguintes coordenadas:
. Determine o seu vetor posição (a) em notação vetorial cartesiana, (b) sua magnitude e (c) o ângulo que o vetor posição forma em relação ao sentido positivo do eixo x. (d) Desenhe o vetor em um sistema de coordenadas dextrogiro. Se a partícula for movida para as coordenadas (
), qual será seu deslocamento (e) em notação vetorial cartesiana, (f) qual a sua magnitude e (g) qual o ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x ?
Passo 1
Primeiro vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
-
Dados (peguei os valores do enunciado):
- posição inicial:
. - posição final:
.
- posição inicial:
-
O enunciado pede:
(a) vetor posição inicial em notação vetorial cartesiana;
(b) magnitude do vetor posição inicial;
(c) ângulo que o vetor posição inicial forma com o sentido positivo do eixo;
(d) desenhar o vetor em um sistema de coordenadas dextrogiro (instrução de desenho);
(e) deslocamento (vetor) quando a partícula vai para a posição final, em notação vetorial cartesiana;
(f) magnitude do deslocamento;
(g) ângulo do deslocamento em relação ao sentido positivo do eixo.
Agora que sabemos exatamente o que pedir, vamos resolver passo a passo.
Passo 2
(a) Representação vetorial cartesiana da posição inicial — conceito e escrita.
- Conceito rápido: um vetor posição em coordenadas cartesianas é escrito como combinação linear dos vetores unitários dos eixos
, e . Os vetores unitários convencionais são (eixo ), (eixo ) e (eixo ). Cada componente é a coordenada nessa direção. - Aplicando aos valores dados, a posição inicial
é:
- Substituindo os números:
Passo 3
(b) Magnitude do vetor posição inicial — conceito e cálculo passo a passo.
- Conceito: a magnitude (ou módulo) de um vetor
é dada por
Aqui
,
,
são as componentes do vetor em metros; o resultado será em metros também.
- Aplicando a
com , , :
- Valor numérico:
. (Arredonde quando for necessário na prova; aqui mantive 4 casas decimais para clareza.)
Passo 4
(c) Ângulo do vetor posição inicial em relação ao sentido positivo do eixo
— conceito, atenção com quadrantes e cálculo.
- Conceito: o ângulo
que um vetor no plano faz com o eixo pode ser obtido usando a função arco-tangente:
onde
é a versão do arco-tangente que leva em conta ambos
e
para colocar o ângulo no quadrante correto. Se usar apenas
, é preciso ajustar o resultado conforme o sinal de
e
.
- Aplicando aos números:
e . O quociente é . -
. Como e , o vetor está no segundo quadrante. O ângulo medido a partir do sentido positivo do eixo (no sentido anti-horário) é
- Arredondando:
. Em radianos: .
Passo 5
(d) Como desenhar o vetor em um sistema de coordenadas dextrogiro — instrução prática (passo a passo para desenhar na prova).
- Interpretação prática: um sistema de coordenadas dextrogiro é o sistema cartesiano direito (right-handed). Para desenhar no papel:
- Desenhar dois eixos perpendiculares, marcando o ponto de interseção como a origem
. - Traçar o eixo
para a direita (sentido positivo) e o eixo para cima (sentido positivo). Indicar à direita e para cima. O eixo apontaria para fora da página (se for necessário indicar). - Marcar a posição
: a componente significa 5 unidades para a esquerda da origem; a componente significa 8 unidades para cima. - Colocar um ponto nesse local e desenhar uma seta do ponto
(origem) até esse ponto; a seta é o vetor . - Opcional: indicar a magnitude aproximada e o ângulo
medido a partir do eixo positivo no sentido anti-horário (no desenho do segundo quadrante, o ângulo fica entre e ).
- Desenhar dois eixos perpendiculares, marcando o ponto de interseção como a origem
- Observação de prova: faça a escala (por exemplo, 1 bloco =
) para que a posição fique proporcional. Isso é tudo que precisa ser desenhado.
Passo 6
(e) Vetor deslocamento
— conceito e cálculo passo a passo.
- Conceito: deslocamento é a diferença entre a posição final e a posição inicial:
Isso se aplica componente a componente:
,
,
.
- Calculando as componentes:
-
. -
. -
.
-
- Assim o deslocamento é
Passo 7
(f) Magnitude do deslocamento — conceito e cálculo.
- Mesma fórmula de magnitude:
- Substituindo
, , :
- Simplificando
. Valor numérico: .
Passo 8
(g) Ângulo do deslocamento em relação ao sentido positivo do eixo
— conceito, tratamento de quadrante e cálculo.
- Para o deslocamento usamos as componentes
(positiva) e (negativa). A razão é
-
. Como e , o vetor está no quarto quadrante. O ângulo medido desde o eixo positivo no sentido anti-horário é
(ou, se preferir um ângulo entre
e
,
). Em radianos:
ou
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(ou
)
(d) Desenhe eixos cartesianos (origem
), eixo
para a direita, eixo
para cima (sistema dextrogiro). Marque o ponto
(5 unidades à esquerda e 8 para cima) e desenhe uma seta de
até esse ponto representando
.
(e)
(f)
(g)
(equivalente a
ou
/
)