Uma partícula se move no plano XY sob a ação exclusiva de uma força constante F=4,2 imath N+3,7 jmath N. Observa-se que suas funções horárias de movimento são dadas por x(t)=(38,3+1,3 t+1,5 t^2) e y(t)=(5,4+2,2 t+ ayt^2 / 2), nas quais x e y estão em metros e t em segundos. Determine y(1).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma partícula se movendo no plano XY sob a ação de uma força constante F = 4,2, imath, N + 3,7, jmath, N. As funções horárias do movimento em x e y são dadas por:
x(t) = 38,3 + 1,3, t + 1,5, t^2
y(t) = 5,4 + 2,2, t + ay, t^22
Queremos descobrir o valor de y(1), ou seja, a posição da partícula no eixo y no tempo t = 1 segundo. Para isso, vamos precisar usar as equações do movimento com aceleração constante e a relação entre força, massa e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a aceleração na direção x. Nas equações de movimento, a parte que multiplica t^2 está relacionada com a aceleração. Então, para x(t):
x(t) = 38,3 + 1,3, t + 1,5, t^2
A aceleração em x ( ax) é o coeficiente de t^2 multiplicado por 2:
ax = 2 times 1,5 = 3, m/s^2

Passo 3

Sabemos pela segunda lei de Newton que F = m, a. Para encontrar a massa m da partícula, podemos usar a componente x da força e da aceleração:
Fx = m, ax implies 4,2 = m times 3
Resolvendo para m:
m = 4,23 = 1,4, kg

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração na direção y ( ay) usando a componente y da força e a massa que acabamos de encontrar:
Fy = m, ay implies 3,7 = 1,4 times ay
Resolvendo para ay:
ay = 3,71,4 approx 2,6429, m/s^2

Passo 5

Com a aceleração ay conhecida, podemos substituir na equação de y(t) para encontrar y(1):
y(t) = 5,4 + 2,2, t + ay, t^22
Substituindo t = 1 e ay approx 2,6429:
y(1) = 5,4 + 2,2 times 1 + 2,6429 times 1^22 = 5,4 + 2,2 + 1,32145

Resposta

Portanto, o valor de y(1) é aproximadamente 8,92 metros.

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