Uma partícula move-se com velocidade \mathrm{v}(\mathrm{t})=8 \mathrm{t}^{\wedge} 3-6 \mathrm{t}^{\wedge} 2.
Quando a aceleração é mais negativa e qual é esse valor?

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade da partícula
v(t)=8t^{3}-6t^{2}
e pede o instante em que a aceleração é mais negativa e qual é esse valor. Como aceleração é a derivada da velocidade, vamos calcular
a(t)=v'(t)
e, em seguida, achar seu mínimo.

Passo 2

Calculemos a aceleração ao derivar v(t):
a(t)=\frac{d}{dt}\bigl(8t^{3}-6t^{2}\bigr) =24t^{2}-12t

Passo 3

Para encontrar os extremos de a(t), derivamos novamente e igualamos a zero:
a'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(24t^{2}-12t\bigr) =48t-12
48t-12=0\;\Longrightarrow\;t=\frac{12}{48}=\frac{1}{4}

Passo 4

Verificamos que esse ponto é mínimo fazendo a segunda derivada de a(t):
a''(t)=\frac{d}{dt}(48t-12)=48>0
Como a''(t)>0, o ponto t=\tfrac14 é realmente um mínimo.

Passo 5

Finalmente, calculamos o valor da aceleração em t=\tfrac14:
a\bigl(\tfrac14\bigr) =24\bigl(\tfrac14\bigr)^{2}-12\bigl(\tfrac14\bigr) =24\cdot\tfrac{1}{16}-3 =\tfrac{24}{16}-3 =\tfrac{3}{2}-3 =-\tfrac{3}{2}

Resposta

A aceleração é mais negativa em t=\tfrac{1}{4} e vale -\tfrac{3}{2}.

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