Uma rocha cai em direção a um planeta estático com velocidade \mathrm{v}(\mathrm{x})=\frac{1}{2 x} onde x é a separação entre eles. Se inicialmente a rocha está em x=0 e o planeta em x=10^{\wedge} 3 \mathrm{~m}, quando a rocha atinge o planeta? Dica: Separe dx e dt.

Passo 1

O enunciado diz que a separação entre a rocha e o planeta é x e que a velocidade de aproximação vale
v(x)=\frac{1}{2x}\,.
Queremos achar o tempo T até a colisão, ou seja, até x ir de x(0)=10^{3}\,\mathrm{m} a x(T)=0. Para isso vamos usar equações diferenciais e separação de variáveis.

Passo 2

Como v(x) é a taxa de variação de x em módulo, e x decresce até zero, escrevemos
\frac{dx}{dt}=-\,\frac{1}{2x}\,.
O sinal negativo indica que x diminui com o tempo.

Passo 3

Separamos as variáveis t e x:
dt=-\,2x\,dx\,.

Passo 4

Integrando dos limites iniciais aos finais, temos
\int_{0}^{T}dt \;=\;-2 \int_{x=10^{3}}^{x=0} x\,dx\,.
O lado esquerdo é simplesmente T. No direito,
-2\int_{10^{3}}^{0}x\,dx =-2\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{10^{3}}^{0} =-\bigl[0-(10^{3})^{2}\bigr] =(10^{3})^{2} =10^{6}\,.
Logo
T=10^{6}\text{ s}.

Resposta

O tempo até a rocha atingir o planeta é 10^{6} segundos (aproximadamente 11,6 dias).

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