Uma rocha cai em direção a um planeta estático com velocidade
onde x é a separação entre eles. Se inicialmente a rocha está em
e o planeta em
, quando a rocha atinge o planeta? Dica: Separe dx e dt.
Passo 1
O enunciado diz que a separação entre a rocha e o planeta é
e que a velocidade de aproximação vale
Queremos achar o tempo
até a colisão, ou seja, até
ir de
a
. Para isso vamos usar equações diferenciais e separação de variáveis.
Passo 2
Como
é a taxa de variação de
em módulo, e
decresce até zero, escrevemos
O sinal negativo indica que
diminui com o tempo.
Passo 3
Separamos as variáveis
e
:
Passo 4
Integrando dos limites iniciais aos finais, temos
O lado esquerdo é simplesmente
. No direito,
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Resposta
O tempo até a rocha atingir o planeta é
segundos (aproximadamente 11,6 dias).