Uma partícula percorre uma distância L de duas maneiras.
(i) Primeiro ela percorre metade da distância a v1 e a outra metade a v2. Qual é a velocidade média \bar{v} ?
(ii) Suponha que ela percorra metade do tempo a v1 e metade do tempo a v2. Qual é \bar{v} ?
(iii) Tome a diferença e mostre que uma média é definitivamente maior. (Assuma que todos os v’s são positivos.) Explique.

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula percorre uma distância L em dois modos diferentes e pede a velocidade média em cada caso. O conteúdo aqui é o conceito de velocidade média, definida como
\bar v = \frac{\text{distância total}}{\text{tempo total}}.â

Passo 2

Caso (i): percorre metade da distância a \,v_1 e a outra metade a \,v_2.
O tempo gasto em cada trecho é
t_1 = \frac{L/2}{v_1} = \frac{L}{2\,v_1}, \quad t_2 = \frac{L/2}{v_2} = \frac{L}{2\,v_2}.
Logo o tempo total é t_1+t_2 e a velocidade média fica
\bar v_{(i)} = \frac{L}{t_1 + t_2} = \frac{L}{\displaystyle \frac{L}{2}\Bigl(\frac1{v_1}+\frac1{v_2}\Bigr)} = \frac{2}{\frac1{v_1}+\frac1{v_2}}.

Passo 3

Caso (ii): percorre metade do tempo a \,v_1 e metade do tempo a \,v_2.
Seja T o tempo total; então em cada metade de tempo \,T/2 ela percorre
d_1 = v_1\frac{T}{2}, \quad d_2 = v_2\frac{T}{2}.
A distância total é d_1+d_2 = \frac{T}{2}(v_1+v_2). Portanto
\bar v_{(ii)} = \frac{d_1 + d_2}{T} = \frac{\frac{T}{2}(v_1+v_2)}{T} = \frac{v_1+v_2}{2}.

Passo 4

Agora calculamos a diferença entre as duas médias:
\frac{v_1+v_2}{2} \;-\; \frac{2}{\frac1{v_1}+\frac1{v_2}} \;=\; \frac{v_1+v_2}{2} \;-\; \frac{2\,v_1v_2}{v_1+v_2}.
Colocando sobre o mesmo denominador:
\frac{(v_1+v_2)^2 - 4\,v_1v_2}{2\,(v_1+v_2)} = \frac{v_1^2 +2v_1v_2+v_2^2 -4v_1v_2}{2\,(v_1+v_2)} = \frac{(v_1 - v_2)^2}{2\,(v_1+v_2)}.
Como v_1 e v_2 são positivas, (v_1 - v_2)^2 \ge 0 e a fração é não negativa, sendo zero só se v_1=v_2. Logo a média do caso (ii) é sempre maior (ou igual, no caso trivial) que a do caso (i). Isso ocorre porque, ao dividir o percurso pelo tempo, a parte percorrida em velocidade maior pesa mais na média.

Resposta

(i) \displaystyle \bar v = \frac{2}{\frac1{v_1}+\frac1{v_2}}
(ii) \displaystyle \bar v = \frac{v_1+v_2}{2}
(iii) A média do item (ii) é sempre maior, pois
\frac{v_1+v_2}{2} \;-\; \frac{2}{\frac1{v_1}+\frac1{v_2}} = \frac{(v_1 - v_2)^2}{2\,(v_1+v_2)} \ge 0.

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