Uma partícula percorre uma distância
de duas maneiras.
(i) Primeiro ela percorre metade da distância a v1 e a outra metade a v2. Qual é a velocidade média
?
(ii) Suponha que ela percorra metade do tempo a v1 e metade do tempo a v2. Qual é
?
(iii) Tome a diferença e mostre que uma média é definitivamente maior. (Assuma que todos os v’s são positivos.) Explique.
(i) Primeiro ela percorre metade da distância a v1 e a outra metade a v2. Qual é a velocidade média
(ii) Suponha que ela percorra metade do tempo a v1 e metade do tempo a v2. Qual é
(iii) Tome a diferença e mostre que uma média é definitivamente maior. (Assuma que todos os v’s são positivos.) Explique.
Passo 1
O enunciado diz que uma partícula percorre uma distância
em dois modos diferentes e pede a velocidade média em cada caso. O conteúdo aqui é o conceito de velocidade média, definida como
Passo 2
Caso (i): percorre metade da distância a
e a outra metade a
.
O tempo gasto em cada trecho é
O tempo gasto em cada trecho é
Logo o tempo total é
e a velocidade média fica
Passo 3
Caso (ii): percorre metade do tempo a
e metade do tempo a
.
Seja o tempo total; então em cada metade de tempo
ela percorre
Seja
A distância total é
. Portanto
Passo 4
Agora calculamos a diferença entre as duas médias:
Colocando sobre o mesmo denominador:
Como
e
são positivas,
e a fração é não negativa, sendo zero só se
. Logo a média do caso (ii) é sempre maior (ou igual, no caso trivial) que a do caso (i). Isso ocorre porque, ao dividir o percurso pelo tempo, a parte percorrida em velocidade maior pesa mais na média.
Resposta
(i)
(ii)
(iii) A média do item (ii) é sempre maior, pois
(ii)
(iii) A média do item (ii) é sempre maior, pois