Uma partícula que se movimenta num campo elétrico tem velocidade dada pela equação vec{v}=(3,0 t+2,0) \hat{i}+\left(2,0 t^{2}+5,0 t-10\right) \hat{j}+10 \hat{k} sendo a velocidade medida em \mathrm{m} / \mathrm{s} e o tempo em segundos. A posição da partícula no é vec{r}(0)=5,0 \hat{i}-3,0 \hat{j}+4,0 \hat{k}(\mathrm{~m}). Determine:
(RA2) A posição da partícula em t=2,0 \mathrm{~s};

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade da partícula e a posição inicial, e pede a posição em t=2,0\\ \mathrm{s}.
Informações fornecidas:
  • Velocidade: \displaystyle \vec{v}(t) = \bigl(3,0\,t + 2,0\bigr)\hat{i} + \bigl(2,0\,t^{2} + 5,0\,t - 10\bigr)\hat{j} + 10\,\hat{k} (em \mathrm{m/s}).
  • Posição inicial: \displaystyle \vec{r}(0)=5,0\,\hat{i}-3,0\,\hat{j}+4,0\,\hat{k} (em \mathrm{m}).
  • Instante pedido: t=2,0\\ \mathrm{s}.
O que precisa ser entregue: \displaystyle \vec{r}(2,0\\ \mathrm{s}).

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que a posição em um tempo t é a posição inicial somada à integral da velocidade de 0 até t:
\vec{r}(t)=\vec{r}(0)+\int_{0}^{t}\vec{v}(t')\,dt'.
  • A integral de um vetor é feita componente a componente. Ou seja, basta integrar separadamente as componentes x, y e z.
Breve revisão de integrais usadas aqui (sem jargão):
  • A integral de a\,t^{n} em relação a t é \dfrac{a}{n+1}\,t^{n+1}.
  • A integral de uma constante c é c\,t.
    Usaremos essas regras para cada termo polinomial da velocidade.

Passo 3

Componente x (explicada passo a passo):
  • Velocidade na direção x: \displaystyle v_x(t)=3,0\,t+2,0.
  • Antiderivada (posição relativa, sem o termo inicial): \displaystyle \int(3,0\,t+2,0)\,dt = 3,0\cdot\frac{t^{2}}{2}+2,0\,t.
  • Simplificando: \displaystyle \int(3,0\,t+2,0)\,dt = \frac{3,0}{2}\,t^{2}+2,0\,t.
  • Avaliando de 0 até 2,0:
    • \displaystyle \frac{3,0}{2}\,(2,0)^{2} = \frac{3,0}{2}\cdot4,0 = 3,0\cdot2,0 = 6,0.
    • \displaystyle 2,0\cdot2,0 = 4,0.
    • Soma das contribuições: 6,0+4,0=10,0.
  • Somando a posição inicial em x: x(2,0)=5,0 + 10,0 = 15,0\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Componente y (explicada passo a passo):
  • Velocidade na direção y: \displaystyle v_y(t)=2,0\,t^{2}+5,0\,t-10.
  • Antiderivada: \displaystyle \int(2,0\,t^{2}+5,0\,t-10)\,dt = 2,0\cdot\frac{t^{3}}{3}+5,0\cdot\frac{t^{2}}{2}-10\,t.
  • Avaliando de 0 até 2,0:
    • \displaystyle 2,0\cdot\frac{(2,0)^{3}}{3} = 2,0\cdot\frac{8,0}{3} = \frac{16}{3}.
    • \displaystyle 5,0\cdot\frac{(2,0)^{2}}{2} = 5,0\cdot\frac{4,0}{2} = 5,0\cdot2,0 = 10,0.
    • \displaystyle -10\cdot2,0 = -20,0.
    • Soma das contribuições: \displaystyle \frac{16}{3}+10,0-20,0 = \frac{16}{3}-10,0 = -\frac{14}{3}.
  • Somando a posição inicial em y: \displaystyle y(2,0) = -3,0 + \Bigl(-\frac{14}{3}\Bigr) = -\frac{9}{3}-\frac{14}{3} = -\frac{23}{3}\\ \mathrm{m}.
  • Em decimal aproximado: -\dfrac{23}{3}\approx -7,666\ldots\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Componente z (explicada passo a passo):
  • Velocidade na direção z: \displaystyle v_z(t)=10 (constante).
  • Antiderivada: \displaystyle \int 10\,dt = 10\,t.
  • Avaliando de 0 até 2,0: \displaystyle 10\cdot2,0 = 20,0.
  • Somando a posição inicial em z: z(2,0)=4,0+20,0=24,0\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Montando o vetor posição em t=2,0\\ \mathrm{s}:
\vec{r}(2,0)=15,0\,\hat{i}-\frac{23}{3}\,\hat{j}+24,0\,\hat{k}\\ \mathrm{m}.
Se preferir a componente y em decimal: \displaystyle -7,666\ldots\,\hat{j}\\ \mathrm{m}.
Força final de ânimo: ótimo trabalho chegando até aqui — integrar componente a componente e manter a calma é a receita. Vai dar certo na prova!

Resposta

\displaystyle \vec{r}(2,0)=15,0\,\hat{i}-\frac{23}{3}\,\hat{j}+24,0\,\hat{k}\\ \mathrm{m}

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