A posição \vec{r} de uma partícula que se move em um plano xy é dada por \vec{r}=\left(2,00 t^{3}-5,00 t\right) \hat{\imath}+\left(6,00-7,00 t^{4}\right) \hat{\jmath}, com \vec{r} em metros e t em segundos. Na notação dos vetores unitários, calcule:
a) (RA2) A posiçaõ \vec{r} para \mathrm{t}=2,00 \mathrm{~s};
b) (RA2) A velocidade \vec{v} para \mathrm{t}=2,00 \mathrm{~s};
c) (RA2) A aceleração \vec{a} para \mathrm{t}=2,00 \mathrm{~s};
d) (RA2) Qual é o ângulo entre o semieixo positivo x e uma reta tangente à trajetória da partícula em \mathrm{t}=2,00 \mathrm{~s} ?
e) (RA1) Em alguma direção o movimento da particula é uniforme?

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula no plano xy como
\vec{r}(t)=\bigl(2,00\,t^{3}-5,00\,t\bigr)\,\hat{\imath}+\bigl(6,00-7,00\,t^{4}\bigr)\,\hat{\jmath},
com \vec{r} em metros e t em segundos, e pede:
  • (a) \vec{r} em t=2,00\\ \text{s};
  • (b) a velocidade \vec{v} em t=2,00\\ \text{s};
  • (c) a aceleração \vec{a} em t=2,00\\ \text{s};
  • (d) o ângulo entre o semieixo positivo x e a reta tangente à trajetória em t=2,00\\ \text{s};
  • (e) se existe alguma direção em que o movimento é uniforme.
Informações relevantes dadas:
  • expressão de \vec{r}(t) (componentes x(t) e y(t));
  • instante numérico para avaliação: t=2,00\\ \text{s}.

Passo 2

Primeiro extraio as componentes escalares da posição:
x(t)=2,00\,t^{3}-5,00\,t,\qquad y(t)=6,00-7,00\,t^{4}.
Para obter a posição em t=2,00\\ \text{s} substituo t=2,00 nas duas expressões. Isso é só avaliar polinômios em um número.

Passo 3

Calculo de \vec{r}(2,00):
x(2,00)=2,00\cdot(2,00)^{3}-5,00\cdot(2,00)=2,00\cdot8,00-10,00=16,00-10,00=6,00\\ \text{m},
y(2,00)=6,00-7,00\cdot(2,00)^{4}=6,00-7,00\cdot16,00=6,00-112,00=-106,00\\ \text{m}.
Portanto
\vec{r}(2,00)=6,00\,\hat{\imath}-106,00\,\hat{\jmath}\\ \text{m}.

Passo 4

Agora vamos à velocidade. Conceito: a velocidade vetorial é a derivada temporal da posição,
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}\,\hat{\imath}+\frac{dy}{dt}\,\hat{\jmath}.
Regra prática: derivada de t^{n} é n\,t^{n-1}; constante some zero; coeficientes multiplicam normalmente.

Passo 5

Derivo as componentes e obtenho a velocidade geral:
v_x(t)=\frac{dx}{dt}= \frac{d}{dt}\bigl(2,00\,t^{3}-5,00\,t\bigr)=6,00\,t^{2}-5,00,
v_y(t)=\frac{dy}{dt}= \frac{d}{dt}\bigl(6,00-7,00\,t^{4}\bigr)=-28,00\,t^{3}.
Agora avalio em t=2,00:
v_x(2,00)=6,00\cdot(2,00)^{2}-5,00=6,00\cdot4,00-5,00=24,00-5,00=19,00\\ \text{m/s},
v_y(2,00)=-28,00\cdot(2,00)^{3}=-28,00\cdot8,00=-224,00\\ \text{m/s}.
Logo
\vec{v}(2,00)=19,00\,\hat{\imath}-224,00\,\hat{\jmath}\\ \text{m/s}.

Passo 6

Agora a aceleração. Conceito: aceleração é a derivada temporal da velocidade,
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}.
Aplico derivação às componentes de \vec{v}(t).

Passo 7

Derivo as componentes de \vec{v}:
a_x(t)=\frac{dv_x}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(6,00\,t^{2}-5,00\bigr)=12,00\,t,
a_y(t)=\frac{dv_y}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(-28,00\,t^{3}\bigr)=-84,00\,t^{2}.
Avalio em t=2,00:
a_x(2,00)=12,00\cdot2,00=24,00\\ \text{m/s}^{2},
a_y(2,00)=-84,00\cdot(2,00)^{2}=-84,00\cdot4,00=-336,00\\ \text{m/s}^{2}.
Assim
\vec{a}(2,00)=24,00\,\hat{\imath}-336,00\,\hat{\jmath}\\ \text{m/s}^{2}.

Passo 8

Agora o ângulo entre o semieixo positivo x e a reta tangente: a reta tangente à trajetória num instante tem direção dada pelo vetor velocidade naquele instante. O ângulo \theta medido a partir do eixo +x (no sentido anti-horário positivo) satisfaz
\tan\theta=\frac{v_y}{v_x}.
Aqui em t=2,00 temos v_x=19,00 e v_y=-224,00. Como v_x>0 e v_y<0, o vetor está no quarto quadrante, logo \theta será um ângulo negativo (ou, se preferir, um ângulo positivo maior que 270^\circ).

Passo 9

Calculo numérico do ângulo:
\tan\theta=\frac{-224,00}{19,00}\approx-11,78947.
Tomando arco-tangente (e respeitando a quadratura pelo sinal de v_x e v_y):
\theta=\arctan\!\left(-11,78947\right)\approx-1,486\\ \text{rad}\approx-85,15^\circ.
Também se quiser o ângulo positivo equivalente em 0^\circ 360^\circ:
\theta_{\text{pos}}=360^\circ-85,15^\circ=274,85^\circ.

Passo 10

Por fim, pergunta (e): “Em alguma direção o movimento da partícula é uniforme?” Interpreto “uniforme” como componente do movimento constante no tempo (velocidade constante naquela direção). Para que a componente da velocidade ao longo de um certo vetor unitário \hat{u}=(\cos\varphi,\sin\varphi) seja constante para TODOS os instantes, é necessário que a projeção da aceleração nessa direção seja nula para todos os instantes, isto é
\vec{a}(t)\cdot\hat{u}=0\quad\text{para todo }t.
Aqui \vec{a}(t)=(12,00\,t,\,-84,00\,t^{2}). Então
\vec{a}(t)\cdot\hat{u}=12,00\,t\cos\varphi-84,00\,t^{2}\sin\varphi=0.
Para que isso valha para todo t (exceto possivelmente t=0), a dependência em t precisa desaparecer — mas a expressão tem termos em t e em t^{2}, logo não é possível escolher \varphi que anule ambos para todo t (não existe \varphi tal que 12,00\cos\varphi-84,00\,t\sin\varphi=0 para todo t). Conclusão: não existe direção em que a componente de velocidade seja constante para todo o movimento; portanto não há direção em que o movimento seja uniforme (exceto, trivialmente, no instante isolado t=0 a aceleração é nula e a velocidade pode ser momentaneamente constante, mas isso não é movimento uniforme ao longo do tempo).

Resposta

\vec{r}(2,00)=6,00\,\hat{\imath}-106,00\,\hat{\jmath}\\ \text{m}
\vec{v}(2,00)=19,00\,\hat{\imath}-224,00\,\hat{\jmath}\\ \text{m/s}
\vec{a}(2,00)=24,00\,\hat{\imath}-336,00\,\hat{\jmath}\\ \text{m/s}^{2}
\theta\approx-1,486\\ \text{rad}\approx-85,15^\circ\\ (\text{ou }274,85^\circ)
Não; não existe direção em que o movimento seja uniforme para todo o tempo (a componente da aceleração não pode ser anulada para todos os instantes).

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