A posição
de uma partícula que se move em um plano xy é dada por
, com
em metros e t em segundos. Na notação dos vetores unitários, calcule:
a) (RA2) A posiçaõ
para
;
b) (RA2) A velocidade
para
;
c) (RA2) A aceleração
para
;
d) (RA2) Qual é o ângulo entre o semieixo positivo x e uma reta tangente à trajetória da partícula em
?
e) (RA1) Em alguma direção o movimento da particula é uniforme?
a) (RA2) A posiçaõ
b) (RA2) A velocidade
c) (RA2) A aceleração
d) (RA2) Qual é o ângulo entre o semieixo positivo x e uma reta tangente à trajetória da partícula em
e) (RA1) Em alguma direção o movimento da particula é uniforme?
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula no plano xy como
com
em metros e
em segundos, e pede:
- (a)
em ; - (b) a velocidade
em ; - (c) a aceleração
em ; - (d) o ângulo entre o semieixo positivo
e a reta tangente à trajetória em ; - (e) se existe alguma direção em que o movimento é uniforme.
Informações relevantes dadas:
- expressão de
(componentes e ); - instante numérico para avaliação:
.
Passo 2
Primeiro extraio as componentes escalares da posição:
Para obter a posição em
substituo
nas duas expressões. Isso é só avaliar polinômios em um número.
Passo 3
Calculo de
:
Portanto
Passo 4
Agora vamos à velocidade. Conceito: a velocidade vetorial é a derivada temporal da posição,
Regra prática: derivada de
é
; constante some zero; coeficientes multiplicam normalmente.
Passo 5
Derivo as componentes e obtenho a velocidade geral:
Agora avalio em
:
Logo
Passo 6
Agora a aceleração. Conceito: aceleração é a derivada temporal da velocidade,
Aplico derivação às componentes de
.
Passo 7
Derivo as componentes de
:
Avalio em
:
Assim
Passo 8
Agora o ângulo entre o semieixo positivo
e a reta tangente: a reta tangente à trajetória num instante tem direção dada pelo vetor velocidade naquele instante. O ângulo
medido a partir do eixo
(no sentido anti-horário positivo) satisfaz
Aqui em
temos
e
. Como
e
, o vetor está no quarto quadrante, logo
será um ângulo negativo (ou, se preferir, um ângulo positivo maior que
).
Passo 9
Calculo numérico do ângulo:
Tomando arco-tangente (e respeitando a quadratura pelo sinal de
e
):
Também se quiser o ângulo positivo equivalente em
–
:
Passo 10
Por fim, pergunta (e): “Em alguma direção o movimento da partícula é uniforme?” Interpreto “uniforme” como componente do movimento constante no tempo (velocidade constante naquela direção). Para que a componente da velocidade ao longo de um certo vetor unitário
seja constante para TODOS os instantes, é necessário que a projeção da aceleração nessa direção seja nula para todos os instantes, isto é
Aqui
. Então
Para que isso valha para todo
(exceto possivelmente
), a dependência em
precisa desaparecer — mas a expressão tem termos em
e em
, logo não é possível escolher
que anule ambos para todo
(não existe
tal que
para todo
). Conclusão: não existe direção em que a componente de velocidade seja constante para todo o movimento; portanto não há direção em que o movimento seja uniforme (exceto, trivialmente, no instante isolado
a aceleração é nula e a velocidade pode ser momentaneamente constante, mas isso não é movimento uniforme ao longo do tempo).
Resposta
Não; não existe direção em que o movimento seja uniforme para todo o tempo (a componente da aceleração não pode ser anulada para todos os instantes).