1. Uma partícula movimenta-se sobe uma reta, e a função horária do movimento é dada por S=-4+ 5 . \mathrm{t}+6 . \mathrm{t}^{2}, (SI). Qual o instante em que ela passa pela origem e qual a sua velocidade no instante 10 s ?

Passo 1

O enunciado define o movimento retilíneo de uma partícula cuja posição em função do tempo é
S(t) = -4 + 5\,t + 6\,t^2
(em unidades SI). Precisamos (a) achar o instante em que a partícula passa pela origem, ou seja, satisfaz S(t)=0, e (b) calcular a velocidade nesse movimento no instante t=10 s.

Passo 2

Para encontrar o instante em que a partícula passa pela origem, impomos
S(t)=0
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-4 + 5\,t + 6\,t^2 = 0
e reorganizamos como
6\,t^2 + 5\,t - 4 = 0.

Passo 3

Calculamos o discriminante da equação quadrática
\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4\cdot 6 \cdot (-4) = 25 + 96 = 121.
As raízes são
t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 \pm 11}{2\cdot 6} = \frac{-5 \pm 11}{12},
isto é
t_1 = \frac{-5 + 11}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{-5 - 11}{12} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3}.

Passo 4

Dos dois valores, t_2 = -\tfrac{4}{3} s é anterior ao instante t=0 (tempo negativo) e normalmente não é considerado no estudo a partir de t=0. O instante fisicamente relevante em que a partícula passa pela origem é
t = \tfrac{1}{2}\\ \text{s}.

Passo 5

A velocidade instantânea é dada pela derivada da posição:
v(t) = \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = 5 + 12\,t.
No instante t = 10 s,
v(10) = 5 + 12 \times 10 = 5 + 120 = 125.
Portanto, a velocidade é 125,m/s.

Resposta

O instante em que a partícula passa pela origem é t = 0,5,s, e sua velocidade em t = 10,s é 125,m/s.

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