Supondo que a densidade do ar atmosférico varie linearmente com a pressão, tal que, a nível do mar, temos p_{0}=1 \mathrm{~atm} e \rho_{0}=1,226 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, para uma altitude h=1 / \lambda, onde \lambda=\rho_{0} \cdot g / p_{0}, temos o limite da troposfera.
a) Qual a altura da troposfera?
b) Qual a pressão atmosférica no limite da troposfera terrestre?

Passo 1

O enunciado nos diz que a densidade do ar varia linearmente com a pressão, ou seja,
\rho(h)=\frac{\rho_{0}}{p_{0}}\,p(h),
e que o equilíbrio hidrostático satisfaz
\frac{dp}{dh}=-\rho(h)\,g.
Definimos ainda
\lambda=\frac{\rho_{0}\,g}{p_{0}}
e que o limite da troposfera ocorre em h=1/\lambda.

Passo 2

Substituindo \rho(h) na equação de equilíbrio hidrostático, temos
\frac{dp}{dh}=-\frac{\rho_{0}}{p_{0}}\,p(h)\,g =-\lambda\,p(h).
Isso é uma equação diferencial de decaimento exponencial em p(h).

Passo 3

Integramos
\frac{dp}{p}=-\lambda\,dh \quad\Longrightarrow\quad \ln p(h)=-\lambda\,h + C.
Em h=0 vale p(0)=p_{0}, logo C=\ln p_{0}. Assim
p(h)=p_{0}\,e^{-\lambda\,h}.

Passo 4

(a) A altura da troposfera é
h_{\rm tropo}=\frac{1}{\lambda} =\frac{p_{0}}{\rho_{0}\,g}.
Usando p_{0}=1{,}013\times10^{5}\,\mathrm{Pa}, \rho_{0}=1{,}226\,\mathrm{kg/m^{3}} e g=9{,}81\,\mathrm{m/s^{2}},
h_{\rm tropo} =\frac{1{,}013\times10^{5}}{1{,}226\cdot9{,}81}\,\mathrm{m} \approx8{,}43\times10^{3}\,\mathrm{m}.

Passo 5

(b) No limite h=1/\lambda, a pressão é
p(h_{\rm tropo}) =p_{0}\,e^{-\lambda\,(1/\lambda)} =p_{0}\,e^{-1} =\frac{p_{0}}{e}.
Em atm isso dá
p(h_{\rm tropo})\approx\frac{1}{e}\,\mathrm{atm}\approx0{,}37\,\mathrm{atm}.

Resposta

(a) h_{\rm tropo}=\dfrac{p_{0}}{\rho_{0}g}\approx8{,}43,km
(b) p(h_{\rm tropo})=p_{0}e^{-1}\approx0{,}37,atm

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