Uma partícula em MUV obedece à seguinte função horária dos espaços, com s em metros e t em segundos:
S=12-8 t+t^{2}
a) Represente graficamente o espaço em função do tempo no instante de 0 a 8 s .
b) Determine a função horária da velocidade e construa o gráfico \mathrm{v} \times \mathrm{t}, de 0 a 8 s .

Passo 1

O enunciado dá a função horária do espaço
S(t)=12 - 8\,t + t^{2}
de uma partícula em movimento uniformemente variado (MUV), no intervalo 0\le t\le8 s.
Vamos (a) esboçar o gráfico de S vs.\ t e (b) obter a função velocidade v(t) e esboçar o gráfico de v vs.\ t.

Passo 2

Para MUV, a função espaço é quadrática em t, o que implica aceleração constante. A aceleração é
a = \frac{d^2S}{dt^2} = 2\quad(\text{m/s}^2).

Passo 3

Para desenhar S(t) de 0 a 8 s, calculamos pontos-chave:
S(0)=12,\quad S(4)=12 - 8\cdot4 + 4^2 = -4,\quad S(8)=12 - 8\cdot8 + 8^2 = 12.
O gráfico é uma parábola que abre para cima, com vértice em (4,-4) e passando por (0,12) e (8,12).

Passo 4

A função velocidade é a derivada de S(t):
v(t)=\frac{dS}{dt} = -8 + 2\,t.

Passo 5

Para esboçar v(t) de 0 a 8 s, calculamos:
v(0)=-8,\quad v(4)=-8+2\cdot4=0,\quad v(8)=-8+2\cdot8=8.
O gráfico é uma reta de coeficiente angular 2 e intercepto -8, passando por (0,-8), (4,0) e (8,8).

Resposta

a) O gráfico de S vs.\ t é uma parábola de concavidade para cima, vértice em (4,-4), passando por (0,12) e (8,12).
b) A função velocidade é
v(t)=-8+2\,t
e seu gráfico é uma reta com inclinação 2 e intercepto -8, passando por (0,-8), (4,0) e (8,8).

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