Uma partícula percorre a trajetória
x(t)=14 t^3+2 t, y(t)=20 t-t^2
com t em segundos e distância em centímetros.
Qual é a altura máxima atingida pela partícula?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma partícula que se movimenta seguindo as trajetórias dadas por x(t) = 14 t^3 + 2 t e y(t) = 20 t - t^2 , onde t é o tempo em segundos e as distâncias estão em centímetros. O objetivo aqui é descobrir qual é a altura máxima que essa partícula atinge durante seu movimento.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a altura máxima corresponde ao valor máximo da função y(t) . Então, nosso foco vai ser analisar essa função para encontrar esse valor.

Passo 3

Vamos olhar a função y(t) = 20 t - t^2 . Essa é uma função do segundo grau (ou quadrática) na forma geral y = at^2 + bt + c , onde a = -1 , b = 20 e c = 0 . Sabemos que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola, e como o coeficiente de t^2 é negativo ( a = -1 ), a parábola abre para baixo. Isso significa que ela tem um ponto de máximo.

Passo 4

Para encontrar o tempo t em que a altura é máxima, usamos a fórmula do vértice da parábola. O tempo correspondente ao vértice é dado por:
t = -b2a
Substituindo os valores de a e b :
t = -202 times (-1) = -20-2 = 10 segundos

Passo 5

Agora que sabemos que o tempo para a altura máxima é t = 10 segundos, vamos substituir esse valor na função y(t) para encontrar a altura:
y(10) = 20 times 10 - (10)^2 = 200 - 100 = 100 centímetros í

Resposta

A altura máxima atingida pela partícula é de 100 centímetros.

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