Uma partícula percorre a trajetória
x(t)=14 t^3+2 t, y(t)=20 t-t^2
com t em segundos e distância em centímetros.
Em que instante a partícula atinge o chão e a que distância da origem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se movimenta seguindo as funções x(t) = 14 t^3 + 2 t e y(t) = 20 t - t^2 , onde t é o tempo em segundos e as distâncias estão em centímetros. Nosso objetivo aqui é descobrir em que momento essa partícula atinge o chão e qual a distância dela da origem nesse instante. Para isso, vamos usar conceitos de movimento retilíneo uniforme e análise de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a partícula “atingir o chão”. Isso ocorre quando a coordenada y da partícula é igual a zero, ou seja, quando y(t) = 0 . Então, vamos resolver a equação 20 t - t^2 = 0 para encontrar o valor de t que satisfaz essa condição.

Passo 3

Vamos resolver a equação 20 t - t^2 = 0 :
20 t - t^2 = 0
Podemos fatorar t :
t (20 - t) = 0
Isso nos dá duas soluções possíveis:
t = 0 ou 20 - t = 0 implies t = 20
Como t = 0 corresponde ao ponto inicial do movimento (onde a partícula está no solo), o instante em que a partícula atinge o chão novamente é t = 20 segundos.

Passo 4

Agora que sabemos que a partícula atinge o chão em t = 20 segundos, vamos descobrir qual é a posição x(t) nesse instante. Substituindo t = 20 na função x(t) :
x(20) = 14 (20)^3 + 2 times 20 = 14 times 8000 + 40 = 2000 + 40 = 2040 cm
Então, a coordenada x da partícula no instante em que ela atinge o chão é 2040 centímetros.

Passo 5

Finalmente, para encontrar a distância da partícula até a origem quando ela atinge o chão, usamos o teorema de Pitágoras, já que a origem é o ponto (0,0) e a partícula está no ponto (2040, 0):
Distância = raiz(2040 - 0)^2 + (0 - 0)^2 = raiz2040^2 = 2040 cm â
Assim, a distância da partícula até a origem nesse instante é de 2040 centímetros.

Resposta

A partícula atinge o chão em t = 20 segundos e está a uma distância de 2040 centímetros da origem nesse instante.

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