Uma partícula no poço quadrado infinito (potencial abaixo) tem a seguinte função de onda inicial: ( 4, 0 p t s ):
V(x)=lr 0, & se 0 <= x <= a infty, & caso contrário á
Função de onda inicial: Psi(x, 0)=A sin ^3(pi x / a), (0 <= x <= a)
a) Encontre as Energias permitidas e os estados estacionários associados para o potencial infinito descrito acima. ( En e phin(x) )
b) Determine a constante A . (requer algum cuidado, mas pouco cálculo!)
c) Calcule Psi(x, t).
Obs: use a identidade trigonométrica: sin 3 theta=3 sin theta-4 sin ^3 theta.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula no poço infinito de largura
e função de onda inicial
Queremos (a) os estados estacionários , (b) a normalização , (c) a evolução . Vamos usar separação de variáveis e a identidade

Passo 2

Dentro do poço, a equação independente do tempo dá solução geral phi(x)=Csin(kx). As condições de contorno phi(0)=phi(a)=0 impõem
kn=npia, n=1,2,3,dots
Assim
phin(x)=Cnsin!l(tfracnpi xar), En=hbar^2kn^22m=n^2pi^2hbar^22ma^2

Passo 3

Normalizando em [0,a] obtemos
integral0^a|phin|^2dx=1;Longrightarrow; Cn=raiz2a,
ou seja
phin(x)=raiz2asin!l(tfracnpi xar)

Passo 4

Usamos a identidade com theta=pi x/a:
sin^3!l(tfracpi xar) =3sin!l(tfracpi xar)-sin!l(tfrac3pi xar)4
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Psi(x,0) =Asin^3!l(tfracpi xar) =A4l[3sin!l(tfracpi xar)-sin!l(tfrac3pi xar)r]
Como sin(npi x/a)=raiztfraca2;phin(x), definimos coeficientes
c1=3A4raiza2, c3=-A4raiza2, cnne1,3=0

Passo 5

Impondo sumn|cn|^2=1 temos
|c1|^2+|c3|^2 =9A^2a32+A^2a32 =10A^2a32 =5A^2a16 =1 ;Longrightarrow; A^2=165a,
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A=4raiz5a

Passo 6

A evolução temporal é
Psi(x,t) =sumn=1^infty cn,phin(x),e^-iEnt/hbar =3raiz10,phi1(x),e^-iE1t/hbar -1raiz10,phi3(x),e^-iE3t/hbar

Resposta

(a) En=n^2pi^2hbar^22ma^2, phin(x)=raiz2asin!(npi xa)\n(b) A=4raiz5a\n(c) Psi(x,t) =3raiz10raiz2asin!(pi xa)e^-iE1t/hbar -1raiz10raiz2asin!(3pi xa)e^-iE3t/hbar

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