Questão 4. Determine uma curva
e
seja ortogonal a
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede uma curva
tal que seu vetor tangente
seja sempre ortogonal ao campo de vetores
O conteúdo aqui é a condição de ortogonalidade entre um vetor tangente e um campo, que leva a uma equação diferencial para
e
. Vamos usar produto escalar e depois reconhecer uma diferencial exata para integrar.
Passo 2
A condição de ortogonalidade é
Escrevendo
, isso dá
Reagrupando em forma de diferencial:
onde
e
.
Passo 3
Observe que a 1-forma
é exata, pois existe uma função
tal que
. Para encontrá-la, integramos
em relação a
, obtendo
Em seguida,
deve coincidir com o coeficiente de
, que é
. Logo
Portanto
Passo 4
A condição
equivale a
Assim as curvas buscadas são as curvas de nível de
, isto é, as soluções implícitas
onde
é uma constante real.
Resposta
A família de curvas cujos vetores tangentes são ortogonais a
é dada por