Questão 4. Determine uma curva \gamma(t), \quad t \in \mathrm{I} e \gamma^{\prime} seja ortogonal a \vec{F}(\gamma(t)), onde \vec{F}(x, y)=(2 x-y) \vec{i}+ (2 y-x) \vec{j}.

Passo 1

O enunciado pede uma curva \gamma(t)=(x(t),y(t)) tal que seu vetor tangente \gamma'(t) seja sempre ortogonal ao campo de vetores
\vec{F}(x,y) = (2x - y)\,\vec{i} + (2y - x)\,\vec{j}.
O conteúdo aqui é a condição de ortogonalidade entre um vetor tangente e um campo, que leva a uma equação diferencial para x(t) e y(t). Vamos usar produto escalar e depois reconhecer uma diferencial exata para integrar.

Passo 2

A condição de ortogonalidade é
\gamma'(t)\cdot \vec{F}(\gamma(t)) = 0.
Escrevendo \gamma'(t)=(x'(t),y'(t)), isso dá
(2x - y)\,x' + (2y - x)\,y' = 0.
Reagrupando em forma de diferencial:
(2x - y)\,dx + (2y - x)\,dy = 0,
onde dx = x'(t)\,dt e dy = y'(t)\,dt.

Passo 3

Observe que a 1-forma
\omega = (2x - y)\,dx + (2y - x)\,dy
é exata, pois existe uma função \varphi(x,y) tal que d\varphi = \omega. Para encontrá-la, integramos
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = 2x - y
em relação a x, obtendo
\varphi(x,y) = \int (2x - y)\,dx = x^2 - x y + h(y).
Em seguida,
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = -x + h'(y)
deve coincidir com o coeficiente de dy, que é 2y - x. Logo
-\,x + h'(y) = 2y - x \quad\Rightarrow\quad h'(y)=2y \quad\Rightarrow\quad h(y)=y^2 + C.
Portanto
\varphi(x,y)=x^2 - x y + y^2.

Passo 4

A condição \omega=0 equivale a
d\varphi=0 \quad\Longrightarrow\quad \varphi(x,y)=\text{constante}.
Assim as curvas buscadas são as curvas de nível de \varphi, isto é, as soluções implícitas
x^2 - x\,y + y^2 = K,
onde K é uma constante real.

Resposta

A família de curvas cujos vetores tangentes são ortogonais a \vec{F} é dada por
x^2 - x\,y + y^2 = K,\quad K\in\mathbb{R}.

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