Uma partícula pontual de carga
está fixa na posição
.
Um próton é colocado na posição
e liberado a partir do repouso.
Calcule a velocidade (
) que o próton terá ao chegar na posição
.
Dado: escreva o resultado com duas casas decimais. Ao consultar os dados necessários na internet, use-os com dois algarismos significativos.
Um próton é colocado na posição
Calcule a velocidade (
Passo 1
Vamos resumir o problema: Temos uma carga fixa de $ Q = 9e $ na posição $ x = 0 $ e um próton colocado na posição $ x = 7, m $. Quando o próton é liberado do repouso, ele se move sob a influência da força elétrica exercida pela carga $ Q $. Precisamos calcular a velocidade do próton quando ele chegar na posição $ x = 42, m $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática e conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as cargas envolvidas. A carga $ Q = 9e $ está fixa em $ x = 0 $ e o próton tem carga $ q = e $. Como ambas as cargas são positivas, elas se repelem. Isso significa que o próton vai acelerar para longe da carga fixa.
Passo 3
Vamos usar a conservação da energia para resolver o problema. A energia mecânica total do sistema se conserva, ou seja, a energia potencial elétrica inicial será convertida em energia cinética quando o próton chegar a $ x = 42, m $.
Passo 4
A energia potencial elétrica $ U $ entre duas cargas é dada pela fórmula:
Onde:
- $ k $ é a constante eletrostática $ (9 \times 10^9, N\cdotm2/\text{C}2) $,
- $ Q $ é a carga fixa,
- $ q $ é a carga do próton,
- $ d $ é a distância entre as cargas.
Passo 5
Calculamos a energia potencial inicial $ U_i $ quando o próton está em $ x = 7, m $:
Lembrando que $ e = 1.602 \times 10^{-19}, C $.
Passo 6
Calculamos a energia potencial final $ U_f $ quando o próton está em $ x = 42, m $:
Passo 7
A variação da energia potencial $ \Delta U $ é:
Esta variação será igual à energia cinética $ K $ adquirida pelo próton:
Passo 8
A energia cinética $ K $ está relacionada à velocidade $ v $ pela fórmula:
Onde $ m $ é a massa do próton ($ 1.673 \times 10^{-27}, kg $).
Passo 9
Igualando as expressões de energia:
Resolvendo para $ v $:
Passo 10
Substituindo os valores numéricos:
- Calculamos $ \Delta U $:
- Calculamos $ v $:
Após realizar os cálculos, obtemos:
Resposta
A velocidade do próton ao chegar em $ x = 42, m $ é aproximadamente $ 1.13 \times 10^{5}, m/s $.