Uma partícula positiva (+e) movendo-se com velocidade de módulo igual v penetra perpendicularmente a um campo magnético constante na direção z. Na situação descrita a partícula de massa
em questão desenvolve uma trajetória circular com aceleração centrípeta igual a
. Mostre que o módulo do campo magnético é dado por
. ( 2,0 pontos)
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede: temos uma partícula positiva com carga +e e massa m que se move com uma velocidade v perpendicular a um campo magnético constante na direção z. Essa partícula descreve uma trajetória circular com uma aceleração centrípeta dada por $ a_c = \frac{\gamma^{2}}{5} $. O objetivo é mostrar que a intensidade do campo magnético $ B $ é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender as relações entre força magnética, força centrípeta e movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando uma partícula carregada se move em um campo magnético, ela sofre uma força magnética $ F_m $ que é perpendicular tanto à velocidade quanto ao campo. Essa força é dada por:
Aqui, $ q $ é a carga da partícula, $ v $ é a velocidade, e $ B $ é a intensidade do campo magnético.
Passo 3
Como a partícula está se movendo em uma trajetória circular, a força magnética atua como força centrípeta, responsável por manter a partícula nessa trajetória. A força centrípeta $ F_c $ é dada por:
Onde $ m $ é a massa da partícula e $ a_c $ é a aceleração centrípeta.
Passo 4
Sabemos que a aceleração centrípeta também pode ser expressa em termos da velocidade e do raio da trajetória:
Onde $ r $ é o raio da trajetória circular.
Passo 5
Agora, igualamos a força magnética à força centrípeta, já que ambas agem na mesma direção para manter a partícula na trajetória circular:
Passo 6
Para encontrar o campo magnético $ B $, vamos isolar essa variável na equação acima. Dividindo ambos os lados por $ q \cdot v $:
Resposta
Portanto, o módulo do campo magnético é dado por: