6- Uma partícula possui uma aceleração constante \vec{a}=\left(5,0 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}\right) \hat{i}+\left(4,0 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}\right) \hat{j}. No instante inicial \mathrm{t}=0, a velocidade é nula e o vetor posição é \vec{r}_{0}=(5 m) \hat{j}. (a) Determine os vetores velocidade e posição para qualquer tempo t. (b) Obtenha a equação da trajetória da partícula no plano xy.

Passo 1

O enunciado trata de cinemática vetorial com aceleração constante em duas dimensões. Temos \vec a = 5\,\hat\imath + 4\,\hat\jmath \mathrm{m/s^2},
velocidade inicial \vec v(0)=\vec0 e posição inicial \vec r(0)=5\,\hat\jmath \mathrm{m}.
Para resolver, vamos integrar \vec a em função do tempo para obter \vec v(t) e depois integrar \vec v(t) para obter \vec r(t). Em seguida, eliminamos t para achar a equação da trajetória y(x).

Passo 2

Integramos a aceleração para achar a velocidade. Como
\vec v(t)=\vec v(0)+\int_{0}^{t}\vec a\,dt
e \vec v(0)=0, temos
\vec v(t)=\bigl(5t\bigr)\,\hat\imath+\bigl(4t\bigr)\,\hat\jmath\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 3

Agora integramos \vec v(t) para achar a posição:
\vec r(t)=\vec r(0)+\int_{0}^{t}\vec v(t')\,dt'
com \vec r(0)=5\,\hat\jmath. Assim,
\vec r(t) =\frac{5t^{2}}{2}\,\hat\imath+\Bigl(5+\frac{4t^{2}}{2}\Bigr)\,\hat\jmath =(2{,}5\,t^{2})\,\hat\imath+(5+2\,t^{2})\,\hat\jmath\quad(\mathrm{m}).

Passo 4

Para obter a trajetória, usamos as componentes:
x(t)=2{,}5\,t^{2}, \quad y(t)=5+2\,t^{2}.
Da primeira, t^{2}=\frac{x}{2{,}5}. Substituindo em y(t):
y=5+2\Bigl(\frac{x}{2{,}5}\Bigr) =5+\frac{4}{5}\,x.

Resposta

(a) \displaystyle \vec v(t)=5t\,\hat\imath+4t\,\hat\jmath,\quad \vec r(t)=2{,}5\,t^{2}\,\hat\imath+(5+2\,t^{2})\,\hat\jmath.
(b) \displaystyle y=5+\frac{4}{5}\,x.

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