5- Uma partícula possui um vetor posição dado por \vec{r}=\left(20 t-5 t^{2}\right) \hat{i}+(35 t+10) \hat{j}, onde r é expresso e metros e t em segundos. Determine os vetores velocidade instantânea e aceleração instantânea em função do tempo t.

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor posição de uma partícula em função do tempo
\vec{r}(t) = \bigl(20\,t - 5\,t^{2}\bigr)\,\hat{i} \;+\;\bigl(35\,t + 10\bigr)\,\hat{j},
onde \vec{r} está em metros e t em segundos. Para obter o vetor velocidade instantânea precisamos calcular a derivada de \vec{r}(t) em relação a t, e para o vetor aceleração instantânea a segunda derivada de \vec{r}(t) (ou a derivada de \vec v(t)).

Passo 2

Calculando a derivada componente a componente de \vec{r}(t):
– Para a componente x:
\frac{d}{dt}\bigl(20\,t - 5\,t^{2}\bigr) = 20 - 10\,t.
– Para a componente y:
\frac{d}{dt}\bigl(35\,t + 10\bigr) = 35.
Logo, o vetor velocidade instantânea é
\vec{v}(t) = \bigl(20 - 10\,t\bigr)\,\hat{i} \;+\; 35\,\hat{j}.

Passo 3

Agora derivamos \vec{v}(t) para obter o vetor aceleração:
– Derivada de 20 - 10\,t em relação a t é -10.
– Derivada de 35 em relação a t é 0.
Portanto, o vetor aceleração instantânea é
\vec{a}(t) = -10\,\hat{i} \;+\; 0\,\hat{j} = -10\,\hat{i}.

Resposta

\vec{v}(t) = \bigl(20 - 10\,t\bigr)\,\hat{i} + 35\,\hat{j},
\vec{a}(t) = -10\,\hat{i}.

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