Uma partícula realiza um movimento circular uniforme em relação a um certo eixo. A posição da partícula como função do tempo é
r(t)=2 raiz3 sen(2 t) i+2 sen(2 t) j+4 cos (2 t) k
em que as componentes de r(t) estão em metros e t em segundos. Determine o vetor velocidade angular.
Dica: Lembre que v(t)=d rd t. Além disso, dd t(sen(k t))=k cos (k t) e dd t(cos (k t))=-k sen(k t).

Passo 1

O enunciado nos dá a posição
r(t)=2raiz3,sen(2t),i+2,sen(2t),j+4,cos(2t),k
de uma partícula em movimento circular uniforme. Queremos o vetor velocidade angular omega. Vamos usar que
  1. v(t)=dfracdrdt.
  2. Para movimento circular uniforme vale v=omegatimesr, logo
omega=rtimesvlVertrrVert^2

Passo 2

Calculamos v(t)=dfracdrdt. Como
ddtl(sen(2t)r)=2cos(2t), ddtl(cos(2t)r)=-2sen(2t),
temos
v(t) =2raiz3cdot2cos(2t),i +2cdot2cos(2t),j +4cdotl(-2sen(2t)r),k
v(t) =4raiz3,cos(2t),i +4,cos(2t),j -8,sen(2t),k

Passo 3

Calculamos o raio R=lVertr(t)rVert para verificar que é constante:
lVertrrVert =raizl(2raiz3sen(2t)r)^2+l(2sen(2t)r)^2+l(4cos(2t)r)^2 =raiz12sen^22t+4sen^22t+16cos^22t
=raiz16l(sen^22t+cos^22tr) =4
Logo R=4.

Passo 4

Agora calculamos o produto vetorial rtimesv:
rtimesv = i&j&k 2raiz3sen(2t)&2sen(2t)&4cos(2t) 4raiz3cos(2t)&4cos(2t)&-8sen(2t) =-16,i+16raiz3,j+0,k

Passo 5

Finalmente
omega =rtimesvR^2 =-16,i+16raiz3,j4^2 =-i+raiz3,jl(rad/sr)

Resposta

omega=-i+raiz3,j;rad/s

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