A posição de um projétil, de 2,00 kg de massa, como função do tempo é
r(t)=8 t j+(10 t-4,9 t^2) k
em que as componentes de r(t) estão em metros e t em segundos. Marque todas as afirmações corretas.
Dica: Lembre que L=r times p e que tau=d Ld t.
a. A magnitude do momento angular da partícula varia com o tempo.
b. A direção do momento angular da partícula varia com o tempo.
c. O momento angular da partícula quando ela está no ponto mais alto é nulo.
d. O torque sobre a partícula é diretamente proporcional ao tempo.
e. O torque aponta na direção negativa do eixo x.

Passo 1

O enunciado dá a posição de um projétil de massa m=2,00:kg como
vec r(t)=8,t,hat jmath+l(10,t-4,9,t^2r),hat k,
e pede para analisar afirmações sobre o momento angular vec L=vec rtimesvec p (com vec p=mvec v) e o torque vec tau=dvec L/dt.

Passo 2

Derivando a posição, obtemos a velocidade
vec v(t)=dvec rdt=8,hat jmath+(10-9,8,t),hat k,
logo o momento linear é
vec p(t)=m,vec v(t)=2l[,8,hat jmath+(10-9,8,t),hat kr] =16,hat jmath+(20-19,6,t),hat k

Passo 3

Como vec r e vec p têm só componentes em j,k, o produto vetorial cai na componente i:
vec L=vec rtimesvec p =(ry,pz-rz,py),hatimath
Substituindo ry=8t, rz=10t-4,9t^2, py=16 e pz=20-19,6t, vem
Lx =8t,(20-19,6t)-(10t-4,9t^2),16 =-78,4,t^2,
ou seja
vec L(t)=-78,4,t^2,hatimath

Passo 4

Com vec L=-78,4,t^2,hatimath:
– A magnitude é l|vec Lr|=78,4,t^2, que varia com t. Logo (a) é verdadeira.
– A direção é sempre hatimath (negativa, pois coeficiente é -), constante no tempo. Logo (b) é falsa.
– No ponto mais alto anula-se vz, mas vec L não depende de vz zerar; em t=10/9,8 vec Lneq0. Assim (c) é falsa.

Passo 5

O torque é
vectau=dvec Ldt =ddtl(-78,4,t^2r),hatimath =-156,8,t,hatimath
– Isso mostra taupropto t, de modo que (d) é verdadeira.
– Como taux=-156,8,t<0 para t>0, o torque aponta em -hatimath. Logo (e) é verdadeira.

Resposta

As afirmações corretas são a, d e e.

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