Uma partícula sofre três deslocamentos sucessivos sobre um plano: 2 m de Norte para Sul, 4 m de Oeste para Leste e 12 m numa direção que forma um ângulo de 60^circ com o Leste e de 30^circ com o Norte. Escolha o eixo Ox apontando no sentido Oeste-Leste e o eixo Oy no sentido Sul-Norte. Faça a origem O coincidir com a origem dos deslocamentos. Determine: (a) os componentes de cada deslocamento, (b) os componentes do deslocamento R resultante, © o módulo, a direção e o sentido do deslocamento resultante. (d) Compare o módulo do deslocarnento com a distância percorrida pela partícula.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e qual conteúdo vamos usar.
Enunciado resumido:
– A partícula faz 3 deslocamentos num plano:
  1. 2 m de Norte para Sul,
  2. 4 m de Oeste para Leste,
  3. 12 m numa direção que forma 60^circ com o Leste (logo 30^circ com o Norte).
    – Queremos:
    a) componentes de cada deslocamento,
    b) componentes do deslocamento resultante vec R,
    c) módulo, direção e sentido de vec R,
    d) comparar o módulo de vec R com a distância total percorrida.
Conteúdo envolvido:
– Vetores em coordenadas cartesianas, decomposição em eixos Ox (Oeste-Leste) e Oy (Sul-Norte).
– Soma de vetores compondo-se coord.
– Cálculo de módulo e ângulo de um vetor.
O que vamos precisar:
– Saber que Ox positivo aponta para Leste, Oy positivo aponta para Norte.
– Funções trigonométricas (seno, cosseno) para decompor o 3º deslocamento.
– Teorema de Pitágoras e função arctan para achar módulo e direção de vec R.

Passo 2

Componentes dos deslocamentos individuais.
  1. Deslocamento vec d1: 2 m de Norte para Sul → aponta para baixo no eixo Oy.
    vec d1 = (0,,-2)em metros
    Porque não há variação em x e varia −2 m em y.
  2. Deslocamento vec d2: 4 m de Oeste para Leste → aponta para a direita no eixo Ox.
    vec d2 = (4,,0)em metros
  3. Deslocamento vec d3: 12 m fazendo 60^circ com o eixo Leste (Ox).
    Teoria rápida: um vetor de módulo A e ângulo theta com o Ox se decompõe em
    Ax = Acostheta, Ay = Asintheta
    Aqui A=12,m e theta=60^circ, logo
    $$\vec d_3 = \bigl(12\cos60\circ,;12\sin60\circ\bigr)
              =\bigl(12\cdot\tfrac12,\;12\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)
              =(6,\;6\sqrt3)\;\text{m}.$$

Passo 3

Componentes do deslocamento resultante vec R=vec d1+vec d2+vec d3.
Somando componente a componente:
$$R_x = 0 + 4 + 6 = 10,\qquad
 R_y = -2 + 0 + 6\sqrt3 = 6\sqrt3 - 2\;.$$
Então
Rx = 0 + 4 + 6 = 10,, Ry = -2 + 0 + 6raiz3 = 6raiz3 - 2;

Passo 4

Módulo, direção e sentido de vec R.
  1. Módulo via Pitágoras:
    $$|\vec R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}
    = \sqrt{10^2 + \bigl(6\sqrt3 -2\bigr)^2}\approx 13{,}1;m.$$
  2. Direção (ângulo |vec R| = raizRx^2 + Ry^2 = raiz10^2 + l(6raiz3 -2r)^2approx 13,1;m medido a partir do Ox, pra cima):
    phi
    Sentido: no 1º quadrante, isto é, para Nordeste, fazendo phi = arctan!l(tfracRyRxr) = arctan!l(tfrac6raiz3-210r) approx 40^circ, acima do Leste.

Passo 5

Comparação entre deslocamento e distância percorrida.
– Distância total percorrida é a soma dos comprimentos:
drm total=2 + 4 + 12 = 18;m
– Módulo do deslocamento vec R é approx13,1,m.
Logo a partícula andou 18 m, mas sua “reta” de partida a chegada é só 13,1 m.

Resposta

a) vec d1=(0,-2),m, vec d2=(4,0),m, vec d3=(6,6raiz3),m.
b) vec R=(10,;6raiz3-2),m.
c) |vec R|approx13,1,m, direção phiapprox40^circ acima do Leste (sentido Nordeste).
d) Distância percorrida = 18 m, que é maior que o módulo do deslocamento (13,1 m).

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