Uma partícula sofre três deslocamentos sucessivos sobre um plano: 2 m de Norte para Sul, 4 m de Oeste para Leste e 12 m numa direção que forma um ângulo de
com o Leste e de
o Norte. Escolha o eixo Ox apontando no sentido Oeste-Leste e o eixo Oy no sentido Sul-Norte. Faça a origem O coincidir com a origem dos deslocamentos. Determine: (a) os componentes de cada deslocamento, (b) os componentes do deslocamento
resultante, © o módulo, a direção e o sentido do deslocamento resultante. (d) Compare o módulo do deslocarnento com a distância percorrida pela partícula.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e qual conteúdo vamos usar.
Enunciado resumido:
– A partícula faz 3 deslocamentos num plano:
Enunciado resumido:
– A partícula faz 3 deslocamentos num plano:
- 2 m de Norte para Sul,
- 4 m de Oeste para Leste,
- 12 m numa direção que forma
com o Leste (logo com o Norte).
– Queremos:
a) componentes de cada deslocamento,
b) componentes do deslocamento resultante,
c) módulo, direção e sentido de,
d) comparar o módulo decom a distância total percorrida.
Conteúdo envolvido:
– Vetores em coordenadas cartesianas, decomposição em eixos Ox (Oeste-Leste) e Oy (Sul-Norte).
– Soma de vetores compondo-se coord.
– Cálculo de módulo e ângulo de um vetor.
– Vetores em coordenadas cartesianas, decomposição em eixos Ox (Oeste-Leste) e Oy (Sul-Norte).
– Soma de vetores compondo-se coord.
– Cálculo de módulo e ângulo de um vetor.
O que vamos precisar:
– Saber que Ox positivo aponta para Leste, Oy positivo aponta para Norte.
– Funções trigonométricas (seno, cosseno) para decompor o 3º deslocamento.
– Teorema de Pitágoras e função arctan para achar módulo e direção de .
– Saber que Ox positivo aponta para Leste, Oy positivo aponta para Norte.
– Funções trigonométricas (seno, cosseno) para decompor o 3º deslocamento.
– Teorema de Pitágoras e função arctan para achar módulo e direção de
Passo 2
Componentes dos deslocamentos individuais.
-
Deslocamento
: 2 m de Norte para Sul → aponta para baixo no eixo Oy.
Porque não há variação em x e varia −2 m em y. -
Deslocamento
: 4 m de Oeste para Leste → aponta para a direita no eixo Ox. -
Deslocamento
: 12 m fazendo com o eixo Leste (Ox).
Teoria rápida: um vetor de móduloe ângulo com o Ox se decompõe em
Aquim e , logo
$$\vec d_3 = \bigl(12\cos60\circ,;12\sin60\circ\bigr)=\bigl(12\cdot\tfrac12,\;12\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) =(6,\;6\sqrt3)\;\text{m}.$$
Passo 3
Componentes do deslocamento resultante
.
Somando componente a componente:
Somando componente a componente:
$$R_x = 0 + 4 + 6 = 10,\qquad
R_y = -2 + 0 + 6\sqrt3 = 6\sqrt3 - 2\;.$$
Então
Passo 4
Módulo, direção e sentido de
.
-
Módulo via Pitágoras:$$|\vec R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}= \sqrt{10^2 + \bigl(6\sqrt3 -2\bigr)^2}\approx 13{,}1;m.$$
-
Direção (ângulo
medido a partir do Ox, pra cima): Sentido: no 1º quadrante, isto é, para Nordeste, fazendoacima do Leste.
Passo 5
Comparação entre deslocamento e distância percorrida.
– Distância total percorrida é a soma dos comprimentos:
– Distância total percorrida é a soma dos comprimentos:
– Módulo do deslocamento
Logo a partícula andou 18 m, mas sua “reta” de partida a chegada é só 13,1 m.
Resposta
a)
m,
m,
m.
b) m.
c) m, direção
acima do Leste (sentido Nordeste).
d) Distância percorrida = 18 m, que é maior que o módulo do deslocamento (13,1 m).
b)
c)
d) Distância percorrida = 18 m, que é maior que o módulo do deslocamento (13,1 m).