Uma partícula está submetida a uma força dada pela energia potencial U(x, y, z)=2 x^2 z-4 yz+z^3
(i) Qual a energia no ponto (0,0,3) m ?
(ii) Qual é a força F(x, y, z) a que ela está sujeita? E o seu módulo em (0,0,1) m ?
R: (i) -27J
(ii)
F(x, y, z)=(-4 x z, 4 z,-2 x^2+4 y-3 z^2)

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial
U(x,y,z)=2x^2z-4yz+z^3
e pede: (i) o valor de U no ponto (0,0,3) e (ii) a força vec F(x,y,z) associada a essa energia potencial, além do módulo de vec F em (0,0,1). Para isso vamos usar duas ideias principais da mecânica:
  • A substituição direta para obter U em um ponto.
  • A relação entre força e energia potencial,
vec F=-nabla U,
onde nabla U=(partial U/partial x,partial U/partial y,partial U/partial z).

Passo 2

Para calcular U(0,0,3) fazemos a substituição direta em
U(x,y,z)=2x^2z-4yz+z^3
Como x=0 e y=0, os dois primeiros termos somam zero, ficando
U(0,0,3)=0-0+3^3=27

Passo 3

A força em um campo de potencial U é dada por
vec F(x,y,z) = -nabla U(x,y,z)
Precisamos, então, calcular as derivadas parciais de U:
partial Upartial x = partialpartial xl(2x^2z-4yz+z^3r) =4xz,
partial Upartial y = partialpartial yl(2x^2z-4yz+z^3r) =-4z,
partial Upartial z = partialpartial zl(2x^2z-4yz+z^3r) =2x^2-4y+3z^2

Passo 4

Aplicando vec F=-nabla U aos componentes acima, obtemos
vec F(x,y,z) =l(-4xz,;4z,;-2x^2+4y-3z^2r)
Para avaliar em (0,0,1) fazemos x=0, y=0, z=1:
vec F(0,0,1) =l(-4cdot0cdot1,;4cdot1,;-2cdot0^2+4cdot0-3cdot1^2r) =(0,4,-3)
O módulo dessa força é
|vec F(0,0,1)| =raiz0^2+4^2+(-3)^2 =raiz16+9 =raiz25 =5

Resposta

(i) U(0,0,3)=27,J
(ii)
vec F(x,y,z)=l(-4xz,;4z,;-2x^2+4y-3z^2r),
e em (0,0,1) o módulo é |vec F(0,0,1)|=5,N

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