Uma partícula, também em movimento unidimensional, possui aceleração dada por a(t)=t^2-1(m / s^2).
a) Sabendo-se que no instante t=0 a velocidade da partícula é nula, calcule a velocidade da partícula em um instante qualquer. Qual a velocidade da partícula para t=1 s ? E para t=2 s ? (R: v(t)= 0+t^33-t ;-0,7 ms ; 0,7 ms)
b) Sabendo-se ainda que no instante t=0 a partícula está na posição x=1 m, calcule a posição da partícula num instante qualquer. Qual a posição para t=1 s ? E para t=2 s ?(R: x(t)=1+t^412-t^22 ; 0,6 m ; 0,3 m.)
c) Onde a partícula pára? Em que região o movimento é acelerado? Onde é retardado? Em que região a partícula está indo? Onde está voltando?( R: 0 s ; 1,73 s e x=1 m e x=0,25 m. Com os gráficos de v x t é possível responder às demais perguntas.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de uma partícula em uma dimensão com uma aceleração que depende do tempo, dada por . Vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente a integração da aceleração para encontrar a velocidade e da velocidade para encontrar a posição. Também vamos precisar aplicar condições iniciais para resolver as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula em qualquer instante v(t) = integral a(t) , dt = integral (t^2 - 1) , dt . Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade, então para achar a velocidade, vamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
v(t) = t^33 - t + C
Integrando termo a termo:
0 = 0^33 - 0 + C Rightarrow C = 0
Agora, usamos a informação de que no instante v(t) = t^33 - t , a velocidade é nula ( ) para encontrar a constante :
Então, a expressão da velocidade fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade nos instantes v(1) = 1^33 - 1 = 13 - 1 = -23 approx -0,7 , m/s e v(2) = 2^33 - 2 = 83 - 2 = 23 approx 0,7 , m/s usando a expressão que encontramos:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a posição da partícula em qualquer instante x(t) = integral v(t) , dt = integral ( t^33 - t ) , dt . Sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo.
x(t) = t^412 - t^22 + D
Integrando termo a termo:
1 = 0^412 - 0^22 + D Rightarrow D = 1
Usamos a condição inicial de que no instante x(t) = 1 + t^412 - t^22 , a posição é para encontrar a constante :
Então, a expressão da posição fica:

Passo 5

Vamos calcular a posição nos instantes x(1) = 1 + 1^412 - 1^22 = 1 + 112 - 12 = 1 + 0,0833 - 0,5 = 0,5833 , m approx 0,6 , m e x(2) = 1 + 2^412 - 2^22 = 1 + 1612 - 42 = 1 + 1,3333 - 2 = 0,3333 , m approx 0,3 , m usando a expressão que encontramos:
Para :
Para :

Passo 6

Para descobrir onde a partícula para, precisamos encontrar quando a velocidade é zero. Vamos resolver t^33 - t = 0 Rightarrow t ( t^23 - 1 ) = 0 :
As soluções são e .
Para saber onde o movimento é acelerado ou retardado, observamos a aceleração :
  • Acelerado quando . Como é positivo, .
  • Retardado quando .
Sobre ir ou voltar:
  • Indo quando . Pelo cálculo, para , .
  • Voltando quando . Entre e , a velocidade é negativa.

Resposta

a) A velocidade da partícula é . Para , ; para , .
b) A posição da partícula é . Para , ; para , .
c) A partícula para em e . O movimento é acelerado para e retardado para . A partícula está indo quando e voltando quando .

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