Partículas
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Freq. Observada | 7 | 22 | 55 | 81 | 53 | 24 | 8 |
Ao nível de significância de
, teste a hipótese dos dados amostrais provirem de uma população com:
a) Distribuição Normal com média 18 e desvio-padrão 3,5;
b) Distribuição Normal.
a) Distribuição Normal com média 18 e desvio-padrão 3,5;
b) Distribuição Normal.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma tabela com intervalos de partículas e a frequência observada em cada intervalo. A gente precisa testar, com um nível de significância de 10%, se esses dados vêm de uma população que segue uma Distribuição Normal.
No item a), a hipótese é que a distribuição normal tem média 18 e desvio-padrão 3,5. No item b), a hipótese é apenas que a distribuição é normal, sem especificar os parâmetros.
Vamos precisar usar o teste de Qui-Quadrado de Bondade de Ajuste para comparar as frequências observadas com as frequências esperadas segundo uma distribuição normal. Isso envolve calcular as frequências esperadas para cada intervalo e depois aplicar a fórmula do Qui-Quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as frequências esperadas para cada intervalo usando a distribuição normal com média 18 e desvio-padrão 3,5, conforme o item a).
Para isso, vamos usar a função de distribuição acumulada da normal, que nos dá a probabilidade de um valor cair abaixo de um certo ponto.
As fronteiras dos intervalos são: 12, 14, 16, 18, 20, 22 e infinito. Precisamos calcular a probabilidade de uma partícula cair em cada intervalo:
- 0 a 12
- 12 a 14
- 14 a 16
- 16 a 18
- 18 a 20
- 20 a 22
- 22 a +infinito
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade para cada intervalo usando a média (μ) = 18 e o desvio-padrão (σ) = 3,5.
A fórmula da probabilidade acumulada para a normal é:
Onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
Vamos aplicar essa fórmula para cada intervalo.
Passo 4
Calculando cada probabilidade:
- 0 a 12:
- 12 a 14:
- 14 a 16:
- 16 a 18:
- 18 a 20:
- 20 a 22:
- 22 a +infinito:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar cada probabilidade pelo total de observações para obter as frequências esperadas.
Primeiro, somamos todas as frequências observadas para encontrar o total:
Agora, as frequências esperadas (E) para cada intervalo são:
- 0 a 12: $ E = 0,0436 \times 250 \approx 10,9 $
- 12 a 14: $ E = 0,0824 \times 250 \approx 20,6 $
- 14 a 16: $ E = 0,1583 \times 250 \approx 39,6 $
- 16 a 18: $ E = 0,2157 \times 250 \approx 53,9 $
- 18 a 20: $ E = 0,2157 \times 250 \approx 53,9 $
- 20 a 22: $ E = 0,1579 \times 250 \approx 39,5 $
- 22 a +infinito: $ E = 0,1264 \times 250 \approx 31,6 $
Passo 6
Agora, vamos calcular o Qui-Quadrado usando a fórmula:
Onde $ O $ são as frequências observadas e $ E $ as esperadas.
Vamos calcular para cada intervalo:
- 0 a 12:
- 12 a 14:
- 14 a 16:
- 16 a 18:
- 18 a 20:
- 20 a 22:
- 22 a +infinito:
Passo 7
Agora, somamos todos esses valores para obter o valor do Qui-Quadrado:
Passo 8
Agora, precisamos comparar o valor calculado do Qui-Quadrado com o valor crítico da tabela de Qui-Quadrado para o nível de significância de 10% e o número de graus de liberdade.
Os graus de liberdade (gl) são calculados como:
Onde $ k $ é o número de categorias e $ p $ é o número de parâmetros estimados.
No item a), estamos usando uma distribuição normal com média e desvio-padrão conhecidos, então $ p = 0 $. Temos 7 categorias, então:
Consultando a tabela de Qui-Quadrado para gl = 6 e nível de 10%, o valor crítico é aproximadamente 10,645.
Passo 9
Comparando os valores:
Como o valor calculado é maior que o crítico, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base no teste realizado, rejeitamos a hipótese de que os dados amostrais provêm de uma distribuição normal com média 18 e desvio-padrão 3,5, ao nível de significância de 10%.