Partículas (mu g / m^3) 0 vdash 12 12 vdash 14 14 vdash 16 16 vdash 18 18 vdash 20 20 vdash 22 22 vdash+infty
Freq. Observada 7 22 55 81 53 24 8
Ao nível de significância de 10 %, teste a hipótese dos dados amostrais provirem de uma população com:
a) Distribuição Normal com média 18 e desvio-padrão 3,5;
b) Distribuição Normal.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma tabela com intervalos de partículas e a frequência observada em cada intervalo. A gente precisa testar, com um nível de significância de 10%, se esses dados vêm de uma população que segue uma Distribuição Normal.
No item a), a hipótese é que a distribuição normal tem média 18 e desvio-padrão 3,5. No item b), a hipótese é apenas que a distribuição é normal, sem especificar os parâmetros.
Vamos precisar usar o teste de Qui-Quadrado de Bondade de Ajuste para comparar as frequências observadas com as frequências esperadas segundo uma distribuição normal. Isso envolve calcular as frequências esperadas para cada intervalo e depois aplicar a fórmula do Qui-Quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as frequências esperadas para cada intervalo usando a distribuição normal com média 18 e desvio-padrão 3,5, conforme o item a).
Para isso, vamos usar a função de distribuição acumulada da normal, que nos dá a probabilidade de um valor cair abaixo de um certo ponto.
As fronteiras dos intervalos são: 12, 14, 16, 18, 20, 22 e infinito. Precisamos calcular a probabilidade de uma partícula cair em cada intervalo:
  • 0 a 12
  • 12 a 14
  • 14 a 16
  • 16 a 18
  • 18 a 20
  • 20 a 22
  • 22 a +infinito

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade para cada intervalo usando a média (μ) = 18 e o desvio-padrão (σ) = 3,5.
A fórmula da probabilidade acumulada para a normal é:
P(a <= X < b) = Phi(b - musigma) - Phi(a - musigma)
Onde Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
Vamos aplicar essa fórmula para cada intervalo.

Passo 4

Calculando cada probabilidade:
  1. 0 a 12:
P(0 <= X < 12) = Phi(12 - 183,5) - Phi(0 - 183,5)
P = Phi(-1,714) - Phi(-5,143) approx 0,0436 - 0 approx 0,0436
  1. 12 a 14:
P(12 <= X < 14) = Phi(14 - 183,5) - Phi(12 - 183,5)
P = Phi(-1,143) - Phi(-1,714) approx 0,126 - 0,0436 approx 0,0824
  1. 14 a 16:
P(14 <= X < 16) = Phi(16 - 183,5) - Phi(14 - 183,5)
P = Phi(-0,571) - Phi(-1,143) approx 0,2843 - 0,1260 approx 0,1583
  1. 16 a 18:
P(16 <= X < 18) = Phi(18 - 183,5) - Phi(16 - 183,5)
P = Phi(0) - Phi(-0,571) approx 0,5 - 0,2843 approx 0,2157
  1. 18 a 20:
P(18 <= X < 20) = Phi(20 - 183,5) - Phi(18 - 183,5)
P = Phi(0,571) - Phi(0) approx 0,7157 - 0,5 approx 0,2157
  1. 20 a 22:
P(20 <= X < 22) = Phi(22 - 183,5) - Phi(20 - 183,5)
P = Phi(1,143) - Phi(0,571) approx 0,8736 - 0,7157 approx 0,1579
  1. 22 a +infinito:
P(22 <= X) = 1 - Phi(22 - 183,5)
P = 1 - Phi(1,143) approx 1 - 0,8736 approx 0,1264

Passo 5

Agora, vamos multiplicar cada probabilidade pelo total de observações para obter as frequências esperadas.
Primeiro, somamos todas as frequências observadas para encontrar o total:
N = 7 + 22 + 55 + 81 + 53 + 24 + 8 = 250
Agora, as frequências esperadas (E) para cada intervalo são:
  1. 0 a 12: $ E = 0,0436 \times 250 \approx 10,9 $
  2. 12 a 14: $ E = 0,0824 \times 250 \approx 20,6 $
  3. 14 a 16: $ E = 0,1583 \times 250 \approx 39,6 $
  4. 16 a 18: $ E = 0,2157 \times 250 \approx 53,9 $
  5. 18 a 20: $ E = 0,2157 \times 250 \approx 53,9 $
  6. 20 a 22: $ E = 0,1579 \times 250 \approx 39,5 $
  7. 22 a +infinito: $ E = 0,1264 \times 250 \approx 31,6 $

Passo 6

Agora, vamos calcular o Qui-Quadrado usando a fórmula:
chi^2 = sum (O - E)^2E
Onde $ O $ são as frequências observadas e $ E $ as esperadas.
Vamos calcular para cada intervalo:
  1. 0 a 12:
O
  1. 12 a 14:
E
  1. 14 a 16:
(7 - 10,9)^210,9 = (-3,9)^210,9 approx 15,2110,9 approx 1,392
  1. 16 a 18:
(22 - 20,6)^220,6 = (1,4)^220,6 approx 1,9620,6 approx 0,095
  1. 18 a 20:
(55 - 39,6)^239,6 = (15,4)^239,6 approx 237,1639,6 approx 5,993
  1. 20 a 22:
(81 - 53,9)^253,9 = (27,1)^253,9 approx 734,4153,9 approx 13,61
  1. 22 a +infinito:
(53 - 53,9)^253,9 = (-0,9)^253,9 approx 0,8153,9 approx 0,015

Passo 7

Agora, somamos todos esses valores para obter o valor do Qui-Quadrado:
chi^2 approx 1,392 + 0,095 + 5,993 + 13,61 + 0,015 + 6,085 + 17,63 approx 44,82

Passo 8

Agora, precisamos comparar o valor calculado do Qui-Quadrado com o valor crítico da tabela de Qui-Quadrado para o nível de significância de 10% e o número de graus de liberdade.
Os graus de liberdade (gl) são calculados como:
gl = k - p - 1
Onde $ k $ é o número de categorias e $ p $ é o número de parâmetros estimados.
No item a), estamos usando uma distribuição normal com média e desvio-padrão conhecidos, então $ p = 0 $. Temos 7 categorias, então:
k
Consultando a tabela de Qui-Quadrado para gl = 6 e nível de 10%, o valor crítico é aproximadamente 10,645.

Passo 9

Comparando os valores:
chi^2 approx 44,82 > 10,645
Como o valor calculado é maior que o crítico, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base no teste realizado, rejeitamos a hipótese de que os dados amostrais provêm de uma distribuição normal com média 18 e desvio-padrão 3,5, ao nível de significância de 10%.

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