Sejam
e
eventos em um espaço amostral. Das afirmações:
I.
II.
III.
Qual(is) são verdadeira(s)?
I.
II.
III.
Qual(is) são verdadeira(s)?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre operações com eventos em um espaço amostral, que é um tópico da Teoria dos Conjuntos dentro da Probabilidade. Vamos analisar cada uma das três afirmações para ver quais são verdadeiras. Para isso, vamos usar propriedades de interseção, união e complementar de conjuntos.
Passo 2
Vamos começar com a Afirmação I:
Primeiro, entendamos o que cada lado da igualdade representa.
-
Lado esquerdo:
significa que estamos pegando a interseção dos eventos A e B, e depois a interseção desse resultado com C. Isso nos dá os elementos que estão em A, em B e em C simultaneamente. -
Lado direito:
significa que estamos pegando a união de B e C primeiro, e depois a interseção desse resultado com A. Isso nos dá os elementos que estão em A e também estão em pelo menos um dos eventos B ou C.
Vamos ver se essas duas expressões são iguais. Pense que no lado esquerdo, para um elemento estar em
, ele precisa estar em A, em B e em C. No lado direito, para um elemento estar em
, ele precisa estar em A e, ao mesmo tempo, em B ou em C.
Claramente, se um elemento está em A, em B e em C, ele também está em A e em B ou C. Porém, o contrário não é verdadeiro: um elemento pode estar em A e em B, mas não necessariamente em C, ou em A e em C, mas não em B. Portanto, as duas expressões não são iguais.
Conclusão: A Afirmação I é falsa.
Passo 3
Vamos para a Afirmação II:
Aqui, temos o termo
, que representa os elementos que estão em A e em B, mas não em C. Vamos analisar o lado direito agora.
Primeiro,
é o complemento de C, ou seja, todos os elementos que não estão em C. Então,
são os elementos que estão em B e não estão em C. Depois, tomamos o complemento desse conjunto:
, que significa todos os elementos que não estão em ambos B e não em C. Finalmente, fazemos a união com A:
.
Para verificar se as duas expressões são iguais, podemos pensar em algum elemento:
-
Se um elemento está em
, ele está em A, em B e não em C. No lado direito, ele está em A, então está na união. -
Se um elemento está em A ou não está em ambos B e não em C, o lado direito inclui mais elementos do que apenas aqueles em A e B mas não em C.
Portanto, as duas expressões não correspondem exatamente.
Conclusão: A Afirmação II é falsa.
Passo 4
Agora, vamos analisar a Afirmação III:
Aqui,
é o complemento de B e
é o complemento de C. A união
representa todos os elementos que não estão em B ou não estão em C.
Por outro lado,
é o complemento da interseção de B e C, ou seja, todos os elementos que não estão simultaneamente em B e em C.
Pela propriedade de De Morgan, sabemos que:
Essa é uma das leis fundamentais de De Morgan na Teoria dos Conjuntos, que relaciona interseções e uniões com complementos.
Conclusão: A Afirmação III é verdadeira.
Resposta
Apenas a Afirmação III é verdadeira.