Sejam A, B e C eventos em um espaço amostral. Das afirmações:
I. (A cap B) cap C=A cap(B cup C)
II. (A cap B)-C=A cup(B cap C^C)^C
III. B^C cup C^C=(B cap C)^C
Qual(is) são verdadeira(s)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre operações com eventos em um espaço amostral, que é um tópico da Teoria dos Conjuntos dentro da Probabilidade. Vamos analisar cada uma das três afirmações para ver quais são verdadeiras. Para isso, vamos usar propriedades de interseção, união e complementar de conjuntos.

Passo 2

Vamos começar com a Afirmação I:
(A cap B) cap C = A cap (B cup C)
Primeiro, entendamos o que cada lado da igualdade representa.
  • Lado esquerdo: (A cap B) cap C significa que estamos pegando a interseção dos eventos A e B, e depois a interseção desse resultado com C. Isso nos dá os elementos que estão em A, em B e em C simultaneamente.
  • Lado direito: A cap (B cup C) significa que estamos pegando a união de B e C primeiro, e depois a interseção desse resultado com A. Isso nos dá os elementos que estão em A e também estão em pelo menos um dos eventos B ou C.
Vamos ver se essas duas expressões são iguais. Pense que no lado esquerdo, para um elemento estar em (A cap B) cap C, ele precisa estar em A, em B e em C. No lado direito, para um elemento estar em A cap (B cup C), ele precisa estar em A e, ao mesmo tempo, em B ou em C.
Claramente, se um elemento está em A, em B e em C, ele também está em A e em B ou C. Porém, o contrário não é verdadeiro: um elemento pode estar em A e em B, mas não necessariamente em C, ou em A e em C, mas não em B. Portanto, as duas expressões não são iguais.
Conclusão: A Afirmação I é falsa.

Passo 3

Vamos para a Afirmação II:
(A cap B) - C = A cup ( B cap C^C )^C
Aqui, temos o termo (A cap B) - C, que representa os elementos que estão em A e em B, mas não em C. Vamos analisar o lado direito agora.
Primeiro, C^C é o complemento de C, ou seja, todos os elementos que não estão em C. Então, B cap C^C são os elementos que estão em B e não estão em C. Depois, tomamos o complemento desse conjunto: ( B cap C^C )^C, que significa todos os elementos que não estão em ambos B e não em C. Finalmente, fazemos a união com A: A cup ( B cap C^C )^C.
Para verificar se as duas expressões são iguais, podemos pensar em algum elemento:
  • Se um elemento está em (A cap B) - C, ele está em A, em B e não em C. No lado direito, ele está em A, então está na união.
  • Se um elemento está em A ou não está em ambos B e não em C, o lado direito inclui mais elementos do que apenas aqueles em A e B mas não em C.
Portanto, as duas expressões não correspondem exatamente.
Conclusão: A Afirmação II é falsa.

Passo 4

Agora, vamos analisar a Afirmação III:
B^C cup C^C = (B cap C)^C
Aqui, B^C é o complemento de B e C^C é o complemento de C. A união B^C cup C^C representa todos os elementos que não estão em B ou não estão em C.
Por outro lado, (B cap C)^C é o complemento da interseção de B e C, ou seja, todos os elementos que não estão simultaneamente em B e em C.
Pela propriedade de De Morgan, sabemos que:
B^C cup C^C = (B cap C)^C
Essa é uma das leis fundamentais de De Morgan na Teoria dos Conjuntos, que relaciona interseções e uniões com complementos.
Conclusão: A Afirmação III é verdadeira.

Resposta

Apenas a Afirmação III é verdadeira.

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