Partindo-se das definições de índices físicos, demonstre que:
\quad \gamma_{d}=\frac{\gamma_{s}}{1+e}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a relação entre o peso específico seco \gamma_{d}, o peso específico dos grãos sólidos \gamma_{s} e o índice de vazios e. Vamos usar as definições clássicas de mecânica dos solos:
\gamma_{s} é o peso dos sólidos dividido pelo volume ocupado pelos sólidos.
e é a razão entre o volume de vazios e o volume de sólidos.
\gamma_{d} é o peso dos sólidos dividido pelo volume total do solo (sólidos + vazios).

Passo 2

Definição do peso específico dos sólidos:
\gamma_{s} = \frac{W_{s}}{V_{s}},
onde W_{s} é o peso dos sólidos e V_{s} é o volume dos sólidos.

Passo 3

Definição do índice de vazios:
e = \frac{V_{v}}{V_{s}},
onde V_{v} é o volume de vazios. Daí o volume total V do solo é
V = V_{s} + V_{v} = V_{s} + e\,V_{s} = V_{s}\,(1+e).

Passo 4

Definição do peso específico seco:
\gamma_{d} = \frac{W_{s}}{V}.
Substituindo V = V_{s}(1+e) obtemos
\gamma_{d} = \frac{W_{s}}{V_{s}(1+e)}.

Passo 5

Reconhecendo que \tfrac{W_{s}}{V_{s}} = \gamma_{s}, concluímos
\gamma_{d} = \frac{\gamma_{s}}{1+e}.

Resposta

\displaystyle \gamma_{d} = \frac{\gamma_{s}}{1+e}

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