Qual o valor da temperatura da aleta na metade do seu comprimento se ela for considerada uma aleta infinita?

Passo 1

O enunciado quer a temperatura na posição x=L/2 de uma aleta considerada infinita.
Conteúdo: condução unidimensional com convecção na superfície da aleta. Vamos usar a fórmula geral para aleta infinita de seção constante, em que se define
\theta(x)=T(x)-T_{\infty},
e
m=\sqrt{\frac{hP}{kA}},
sendo h coeficiente de convecção, P perímetro da seção, k condutividade térmica e A área da seção.

Passo 2

Escrevemos a EDO que governa \theta(x):
\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}x^2}-m^2\,\theta=0.
A solução geral é
\theta(x)=C_{1}e^{m x}+C_{2}e^{-m x}.
Para aleta infinita impomos \theta(x)\to0 quando x\to\infty, o que obriga C_{1}=0.

Passo 3

Com C_{1}=0 temos
\theta(x)=C_{2}e^{-m x}.
No pé da aleta x=0 a temperatura é T(0)=T_{b}, logo
\theta(0)=T_{b}-T_{\infty}=C_{2}\quad\Longrightarrow\quad C_{2}=T_{b}-T_{\infty}.
Portanto
\theta(x)=(T_{b}-T_{\infty})\,e^{-m x}.

Passo 4

Na metade do comprimento, x=L/2, obtemos
\theta\!\bigl(L/2\bigr)=(T_{b}-T_{\infty})\,e^{-m\,L/2}.
Voltando a T(x)=T_{\infty}+\theta(x),
T\!\bigl(L/2\bigr)=T_{\infty}+(T_{b}-T_{\infty})\,e^{-m\,L/2}.

Resposta

T\!\bigl(L/2\bigr) = T_{\infty}+\bigl(T_{b}-T_{\infty}\bigr)\,e^{-m\,L/2}.

Exercícios relacionados