Questăo 1:

Um fluido ( \rho=867 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mu=444 \times 10^{-5} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s} ) deve ser bombeado até um tanque atmosférico que está a 24,4 \mathrm{~m} de altura através de uma tubulaçâo com 1830 m de comprimento. A tubulaçăo possui rugosidade relativa de 0,0045 e 406 mm de diámetro interno. Um manómetro instalado na seçâo de descarga da bomba indica uma pressâo de 13790 Pa . Considerando que estâo instaladas ao longo da tubulaçăo 2 curvas de 45^{\circ} e 1 válvula gaveta aberta, responda:
a) Qual a perda de carga total durante o escoamento?
b) Qual a potencia da bomba para manter a vazăo em 0,196 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} ?
c) Caso fosse necessário diminuir a perda de carga mantendo esta mesma vazăo, o que você alteraria?
Table 1: Tabela 1: Valores do coeficiente K de perda de carga para algumas conexঠes e acessórios
\captionsetup{labelformat=empty}
Acessório K
Cotovelo 90^{\circ} 0.9
Cotovelo 45^{\circ} 0.4
Curva de 90^{\circ} 0.4
Curva de 45^{\circ} 0.2
Válvula gaveta (totalmente aberta) 0.2
Válvula Globo (totalmente aberta) 10

Passo 1

O enunciado pede:
– (a) a perda de carga total (atrito + acessórios) num escoamento de vazão Q=0,196, m^{3}/s em tubulação de comprimento L=1830,m, diâmetro interno d=0,406,m e rugosidade relativa \varepsilon/d=0,0045.
– (b) a potência da bomba necessária, sabendo que a altura estática é \Delta z=24,4,m e que a pressão no ponto de descarga da bomba é p=13790,Pa.
– (c) sugestão para reduzir essa perda de carga mantendo a mesma vazão.
Para isso usamos a equação de Darcy–Weisbach para perdas de carga e a fórmula da potência hidráulica da bomba.

Passo 2

Calcular a velocidade média v e o número de Reynolds Re:
A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi\,(0,406)^2}{4}\approx0,1292\\ \mathrm{m}^2
v = \frac{Q}{A} = \frac{0,196}{0,1292}\approx1,517\\ \mathrm{m/s}
Re = \frac{\rho\,v\,d}{\mu} = \frac{867\cdot1,517\cdot0,406}{444\times10^{-5}}\approx1,2\times10^5
Usamos a fórmula explícita de Swamee–Jain para o fator de atrito f:
f = 0,25\biggl[\log_{10}\Bigl(\frac{\varepsilon/d}{3,7}+\frac{5,74}{Re^{0,9}}\Bigr)\biggr]^{-2} \approx0,0305

Passo 3

Perda de carga por atrito (major loss):
h_f = f\,\frac{L}{d}\,\frac{v^2}{2g} =0,0305\cdot\frac{1830}{0,406}\cdot\frac{(1,517)^2}{2\cdot9,81} \approx16,08\\ \mathrm{m}

Passo 4

Perda de carga em acessórios (minor loss):
São 2 curvas de 45^\circ K=0,2 cada) e 1 válvula gaveta ( K=0,2, total K_{\rm tot}=0,2\cdot2+0,2=0,6.
h_m = K_{\rm tot}\,\frac{v^2}{2g} =0,6\cdot\frac{(1,517)^2}{2\cdot9,81} \approx0,07\\ \mathrm{m}

Passo 5

Perda de carga total no escoamento:
h_{\rm tot} = h_f + h_m \approx16,08 + 0,07 = 16,15\\ \mathrm{m}

Passo 6

Cabeça total que a bomba deve fornecer H: soma da pressão no manômetro em cabeça, da elevação e das perdas:
\frac{p}{\rho g} = \frac{13790}{867\cdot9,81}\approx1,62\\ \mathrm{m}
H = \frac{p}{\rho g} + \Delta z + h_{\rm tot} =1,62 + 24,4 + 16,15 \approx42,17\\ \mathrm{m}

Passo 7

Potência hidráulica da bomba (eficiência 100\%):
P = \rho\,g\,Q\,H =867\cdot9,81\cdot0,196\cdot42,17 \approx7,04\times10^4\\ \mathrm{W} \approx70,4\\ \mathrm{kW}

Passo 8

Para diminuir a perda de carga mantendo Q constante, pode-se, por exemplo:
– aumentar o diâmetro da tubulação (reduz v e, logo, h_f);
– usar tubos de menor rugosidade (reduz f);
– optar por acessórios de menor K (raio maior nos cotovelos, válvulas de esfera em vez de globo, etc.).

Resposta

(a) h_{\rm tot}\approx16,15 m
(b) P\approx70,4 kW
(c) Aumentar o diâmetro da tubulação, diminuir a rugosidade interna ou usar acessórios com menores K.

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