questão (a) Determine o momento de inércia de um paralelepípedo homogêneo de massa
, comprimento
, largura
e altura com relação a um eixo passando pelo seu centro de simetria e perpendicular à sua base, contida no plano xy , considerando-o como o empilhamento de chapas delgadas de espessura
, massa infinitesimal
e momento de inércia
. (b) Por considerações de simetria, determine o momento de inércia com relação a um eixo passando pelo seu centro e perpendicular à face lateral contida no plano
, de área
, e (c) calcule o momento de inércia com relação a um eixo paralelo a
e passando por um dos vértices dessa face.
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é um paralelepípedo uniforme de massa M, dimensões a (comprimento em x), b (largura em y) e c (altura em z).
Conteúdo: momento de inércia de corpo rígido.
O que vamos usar:
Conteúdo: momento de inércia de corpo rígido.
O que vamos usar:
- densidade volumétrica uniforme
, - integração de fatias delgadas para somar momentos de inércia,
- teorema dos eixos paralelos (no item c),
- simetria (no item b).
Passo 2
Resolvendo (a): eixo pelo centro e perpendicular à base (eixo z).
- Definimos a densidade:
- Cortamos o paralelepípedo em fatias paralelas à base, de espessura
. Cada fatia tem volume e massa
- A questão já deu: o momento de cada fatia (retângulo
) em torno do eixo central z é
- Agora integramos de
até :
Passo 3
Resolvendo (b): eixo pelo centro e perpendicular à face lateral contida no plano xz (ou seja, eixo y).
Por simetria é a mesma ideia, só que agora trocamos b por c:
Por simetria é a mesma ideia, só que agora trocamos b por c:
Passo 4
Resolvendo (c): eixo paralelo a y, passando por um vértice da face em xz.
- Esse eixo está deslocado do centro em distância
- Pelo teorema dos eixos paralelos:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)