1^ a questão (a) Determine o momento de inércia de um paralelepípedo homogêneo de massa M, comprimento a, largura b e altura com relação a um eixo passando pelo seu centro de simetria e perpendicular à sua base, contida no plano xy , considerando-o como o empilhamento de chapas delgadas de espessura d z, massa infinitesimal d m e momento de inércia d m(a^2+b^2) / 12. (b) Por considerações de simetria, determine o momento de inércia com relação a um eixo passando pelo seu centro e perpendicular à face lateral contida no plano x z, de área b c, e (c) calcule o momento de inércia com relação a um eixo paralelo a y e passando por um dos vértices dessa face.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é um paralelepípedo uniforme de massa M, dimensões a (comprimento em x), b (largura em y) e c (altura em z).
Conteúdo: momento de inércia de corpo rígido.
O que vamos usar:
  1. densidade volumétrica uniforme rho,
  2. integração de fatias delgadas para somar momentos de inércia,
  3. teorema dos eixos paralelos (no item c),
  4. simetria (no item b).

Passo 2

Resolvendo (a): eixo pelo centro e perpendicular à base (eixo z).
  1. Definimos a densidade:
rho = Mvolume = Ma,b,c
  1. Cortamos o paralelepípedo em fatias paralelas à base, de espessura dz. Cada fatia tem volume dV = a,b,dz e massa
dm = rho,dV = Ma b c,a b,dz = Mc,dz
  1. A questão já deu: o momento de cada fatia (retângulo atimes b) em torno do eixo central z é
dI = dm,a^2 + b^212
  1. Agora integramos de z=-tfracc2 até +tfracc2:
Iz = integral-c/2^c/2 Mc,a^2 + b^212,dz = Mc,a^2 + b^212,l[cr] = M,(a^2 + b^2)12

Passo 3

Resolvendo (b): eixo pelo centro e perpendicular à face lateral contida no plano xz (ou seja, eixo y).
Por simetria é a mesma ideia, só que agora trocamos b por c:
Iy ;=; M,(a^2 + c^2)12

Passo 4

Resolvendo (c): eixo paralelo a y, passando por um vértice da face em xz.
  1. Esse eixo está deslocado do centro em distância
d = raizl(tfraca2r)^2 + l(tfracc2r)^2 = raiza^2 + c^22
  1. Pelo teorema dos eixos paralelos:
I = Irm cm + M,d^2 = M,(a^2 + c^2)12 ;+; M,a^2 + c^24 = M,(a^2 + c^2)12l(1 + 3r) = M,(a^2 + c^2)3

Resposta

(a) Iz = dfracM(a^2 + b^2)12
(b) Iy = dfracM(a^2 + c^2)12
(c) I = dfracM(a^2 + c^2)3

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