A partir de uma base A B, definida por suas coordenadas retangulares X_{A}=1000,00 \mathrm{~m}, Y_{A}= 2500 \mathrm{~m}, \mathrm{X}_{\mathrm{B}}=1375,35 \mathrm{~m}, \mathrm{Y}_{\mathrm{B}}=1745,76 \mathrm{~m}, foi levantado um ponto M , através do método da interseção direta, com as seguintes medidas angulares: \mathrm{R}_{\text {AM }}=21^{\circ} 11^{\prime} SE e \mathrm{R}_{\text {BM }}=70^{\circ} 13^{\prime} \mathrm{SW}.
a. As coordenadas retangulares do ponto M ;
b. A extensão do alinhamento AM e BM ;
c. Os rumos dos alinhamentos \mathrm{MB}, \mathrm{MA} e BA

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a base AB com
A( X_A=1000{,}00\;\mathrm m,\;Y_A=2500{,}00\;\mathrm m),\quad B( X_B=1375{,}35\;\mathrm m,\;Y_B=1745{,}76\;\mathrm m)
e os rumos (bearing quadrant) para o ponto M: \mathrm R_{AM}=21^\circ11'\,\mathrm{SE} (isto é, S21^\circ11'E) e \mathrm R_{BM}=70^\circ13'\,\mathrm{SW} (isto é, S70^\circ13'W).
Queremos
a) as coordenadas de M;
b) os comprimentos AM e BM;
c) os rumos dos alinhamentos MB, MA e BA.

Passo 2

Convertendo os rumos em azimutes (medidos no sentido horário a partir do norte):
\alpha_A=\text{azimute de }A\to M =180^\circ-21^\circ11'=158^\circ49', \quad \alpha_B=\text{azimute de }B\to M =180^\circ+70^\circ13'=250^\circ13'.
Em coordenadas planas (X crescente para leste, Y crescente para norte),
os incrementos são dados por
\Delta X_A = AM\;\sin\alpha_A,\quad \Delta Y_A = AM\;\cos\alpha_A,
\Delta X_B = BM\;\sin\alpha_B,\quad \Delta Y_B = BM\;\cos\alpha_B.
Como X_A+\Delta X_A=X_B+\Delta X_B e Y_A+\Delta Y_A=Y_B+\Delta Y_B, definimos
\Delta X = X_B-X_A,\quad \Delta Y=Y_B-Y_A
e obtemos o sistema
\begin{cases} AM\;\sin\alpha_A\;-\;BM\;\sin\alpha_B=\Delta X,\\[6pt] AM\;\cos\alpha_A\;-\;BM\;\cos\alpha_B=\Delta Y. \end{cases}]

Passo 3

Chamando
A=\sin158^\circ49',\; B=\sin250^\circ13',\; C=\cos158^\circ49',\; D=\cos250^\circ13',\;
e sabendo \Delta X=1375{,}35-1000{,}00=375{,}35\;\mathrm m, \Delta Y=1745{,}76-2500{,}00=-754{,}24\;\mathrm m,
resolvemos por Cramer:
\det = A\,D - B\,C,\quad AM = \frac{\Delta X\,D - \Delta Y\,B}{\det},\quad BM = \frac{\Delta X\,C - \Delta Y\,A}{B\,C - A\,D}.

Passo 4

Calculando numericamente:
A\approx0{,}3609,\; B\approx-0{,}9410,\; C\approx-0{,}9326,\; D\approx-0{,}3382,
\det\approx-0{,}9993,
AM\approx\frac{375{,}35\cdot(-0{,}3382)-(-754{,}24)\cdot(-0{,}9410)}{-0{,}9993} \approx836{,}73\;\mathrm m,
BM\approx\frac{375{,}35\cdot(-0{,}9326)-(-754{,}24)\cdot0{,}3609}{-0{,}9993} \approx77{,}80\;\mathrm m.
Em seguida, as coordenadas de M a partir de A:
X_M =1000{,}00+836{,}73\;\sin158^\circ49'\approx1302{,}15\;\mathrm m,
Y_M =2500{,}00+836{,}73\;\cos158^\circ49'\approx1719{,}43\;\mathrm m.

Passo 5

Para os rumos MB, MA e BA, usamos as diferenças:
\Delta X_{MB}=X_B-X_M\approx73{,}20,\quad \Delta Y_{MB}=Y_B-Y_M\approx26{,}33,
\Delta X_{MA}=X_A-X_M\approx-302{,}15,\quad \Delta Y_{MA}=Y_A-Y_M\approx780{,}57,
\Delta X_{BA}=X_A-X_B\approx-375{,}35,\quad \Delta Y_{BA}=Y_A-Y_B\approx754{,}24.
Então:
MB: \theta=\arctan\frac{|\Delta X_{MB}|}{|\Delta Y_{MB}|}\approx70^\circ13',
\Delta X>0,\Delta Y>0\Rightarrow N70^\circ13'E.
MA: \theta\approx21^\circ11',
\Delta X<0,\Delta Y>0\Rightarrow N21^\circ11'W.
BA: \theta\approx26^\circ28',
\Delta X<0,\Delta Y>0\Rightarrow N26^\circ28'W.

Resposta

a) M(1302{,}15\;\mathrm m,\;1719{,}43\;\mathrm m)
b) AM=836{,}73\;\mathrm m,\quad BM=77{,}80\;\mathrm m
c) MB=N70^\circ13'E,\quad MA=N21^\circ11'W,\quad BA=N26^\circ28'W

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