Questão 5. Calcule a integral \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{2-x^{2}-y^{2}} x y d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{2 - x^{2} - y^{2}} x\,y \,dz\,dy\,dx,
sobre a região no primeiro octante limitada em xy pelo quarto de disco de raio 1 e em z pelas superfícies z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e z=2 - (x^{2}+y^{2}). Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z).

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
A projeção no plano xy é 0\le r\le1, 0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}. Em z, a partir de z=r até z=2 - r^{2}.

Passo 3

O integrando x\,y vira
x\,y = (r\cos\theta)(r\sin\theta)=r^{2}\cos\theta\sin\theta,
logo o elemento completo é
x\,y\,dV = r^{2}\cos\theta\sin\theta\;r\,dz\,dr\,d\theta = r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

A integral em cilíndricas fica
\int_{\theta=0}^{\pi/2}\!\int_{r=0}^{1}\!\int_{z=r}^{2 - r^{2}} r^{3}\cos\theta\sin\theta\;dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Primeiro integramos em z:
\int_{z=r}^{2 - r^{2}}dz = \bigl(2 - r^{2}\bigr) - r = 2 - r^{2} - r.
Então a integral reduz a
\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{1}r^{3}(2 - r^{2} - r)\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 6

Separamos a parte em \theta e em r:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\;\times\;\int_{0}^{1}r^{3}(2 - r^{2} - r)\,dr.
Calculemos cada uma:
\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta =\tfrac12,
\int_{0}^{1}(2r^{3}-r^{5}-r^{4})\,dr =2\cdot\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{5} =\tfrac12-\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{5} =\tfrac{2}{15}.

Passo 7

Multiplicando os resultados:
\tfrac12 \times \tfrac{2}{15} = \tfrac{1}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{15}

Exercícios relacionados