Questão 5. Calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
sobre a região no primeiro octante limitada em
pelo quarto de disco de raio 1 e em
pelas superfícies
e
. Vamos usar coordenadas cilíndricas
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas definimos
A projeção no plano
é
,
. Em
, a partir de
até
.
Passo 3
O integrando
vira
logo o elemento completo é
Passo 4
A integral em cilíndricas fica
Passo 5
Primeiro integramos em
:
Então a integral reduz a
Passo 6
Separamos a parte em
e em
:
Calculemos cada uma:
Passo 7
Multiplicando os resultados: